¿Cómo debe una imagen de una topología/ topológica del espacio?

Question

Me pueden formar una imagen mental de conjuntos de estructuras como parámetros o normas. Pero si trato de imaginar una topología/ espacio topológico me falla cada vez. La información proporcionada en la Wikipedia me confunde un poco, ya que el concepto de topología es nuevo para mí.

Así, hay una (preferiblemente simple) explicación de una topología colocado en un set? Y cómo debería alguien la imagen topologías/ espacios topológicos?

Answer 1

Topológica del espacio vienen de muy diferentes sabores y por lo tanto no creo que hay una buena imagen mental para proporcionar la idea general detrás del concepto de espacios topológicos.

Aparte de la habitual ejemplos de espacios topológicos como $\mathbb R^n$ con su métrica, hay más exóticos.

Por ejemplo:

• Deje $X \subseteq \mathbb N$ ser abierto iff $X \in \{\emptyset, \mathbb N \}$ o $X = \{1,2, \ldots, n \}$ algunos $n \in \mathbb N$. Esto define una topología.
• Deje $2^\mathbb N = \{ (a_n)_{n \in \mathbb N} \mid a_n \in \{0,1\} \text{ for all } n \in \mathbb N \}$ el conjunto de los infinitos 0 1 secuencias. Entonces $$ d: 2^\mathbb N \times 2^\mathbb N \rightarrow \mathbb R, \ \izquierdo( (a_n)_n , (b_n)_n \right) \mapsto \frac {1}{ \min \{n \mediados de a_n \neq b_n \}} $$ define una métrica y por lo tanto una topología en $2^\mathbb N$. Esta topología es compacto y cero-dimensional que le da un sabor muy diferente de la habitual de la topología en $\mathbb R$.
• Por un determinado lenguaje de $L$ podemos definir un topológicos compactos espacio en el set de $\mathcal T$ de todos los $L$-Teorías que da lugar a una buena prueba de que el famoso teorema de compacidad (ver aquí).
• Otro ejemplo es el de Zariski-Topología en el espectro de un fijo anillo conmutativo, que se estudia en el clásico de la geometría algebraica.
• ...

Podría ser una buena idea de jugar un poco con algunos simples ejemplos de espacios topológicos (incluyendo algunos "raros") para acostumbrarse a esta definición.

Answer 2

Si usted comienza con un espacio métrico $X$, a continuación, se definen los bloques abiertos en $X$ los $U\subseteq X$ satisfactorio que para todos los $x\in U$ existe $\varepsilon >0 $ tal que $B_\varepsilon (x)\subseteq U$. La razón por la que estamos interesados en abrir juegos (y sus complementos, conocido como conjuntos cerrados) es debido a varios teoremas elementales de la métrica de los espacios que supongo que te he visto (de lo contrario me limitaré a decir que el abrir los conjuntos permiten captar con precisión la noción de continuidad). Es muy fácil probar que el abrir establece en un espacio métrico está cerrado bajo intersecciones finitas y bajo arbitraria de los sindicatos.

Ahora, mediante el análisis de las pruebas se descubre que algunos de los teoremas que nos gusta, en realidad puede ser expresada en términos de abierto/cerrado sólo fija, y la prueba sólo puede obtenerse mediante el uso de las propiedades de abrir los conjuntos mencionados anteriormente. Que significa que si uno está en una situación en la que usted comienza con un espacio métrico, tenga en cuenta lo que el abrir sets, y luego sufren de amnesia por el cual usted puede olvidarse totalmente de lo que la métrica era, todavía se puede hacer mucho con el resto de 'espacio'. Por supuesto, la amnesia no es la razón de esto, más nos damos cuenta de que la información métrica puede ser olvidado mientras uno se acuerda de los bloques abiertos, al menos para algunos propósitos (a grandes rasgos, los relacionados con la continuidad). Así que en este nivel es un juego - no es una métrica, pero fingimos sólo han abierto establece que produce, y vemos lo que todavía podemos hacer con él.

Ahora, vamos a cambiar la configuración. Lo que si realmente no hay métrica, sólo un montón de subconjuntos que son cerrado bajo intersecciones finitas y arbitraria de los sindicatos? Bueno, entonces esto es una topología y el resultado es un espacio topológico, que se puede considerar como el resultado del olvido de algunas métricas que llevaron a estos bloques abiertos. Esto resulta ser muy útil.

Ahora, aquí está lo bueno. Cualquier espacio topológico es, de hecho, viene de una métrica, si uno ligeramente generaliza lo métrica medios. Los detalles de este es en Flagg del papel "Quantales y la continuidad de los espacios". La línea de fondo es, entonces, que cualquier topología surge como la colección de bloques abiertos para algunos $V$valores de espacio métrico. Así que usted puede realmente pensar en una topología como el resultado de amnesia temporal, olvidando la métrica.

Answer 3

Es difícil dar una buena visualización para las topologías o topológicos, espacios vectoriales, porque ellos fueron introducidos precisamente para situaciones donde la habitual intuición de la (no-)Euclidiana espacios vectoriales ya no se lleva. Sin embargo, una manera útil de pensar acerca de las topologías es que son un directo de formalización matemática del concepto de "proximidad" sin necesidad de recurrir a cualquier concepto de "distancia".

Como ustedes saben, una topología en un conjunto $S$ es una colección de subconjuntos (cerrado bajo determinadas operaciones) que son llamados abiertos. A continuación puede definir una vecindad de un punto de $x\in S$ como un conjunto $V\subset S$ que contiene un conjunto abierto que contiene a $x$. (Intuitivamente, tiene un poco de "espacio de maniobra" en $V$$x$.) ¿Por qué es útil? Ya que esto permite dar una nueva formalización matemática (y por lo tanto, la generalización!) de la ingenua noción de funciones continuas como "dibuja como una sola línea": una función de $f$ es continua, si los puntos en un barrio de $f(x)$ provienen de puntos en un barrio de $x$.¹

Por supuesto, si usted tiene una métrica en $S$, en los barrios puede ser definido en términos de una distancia de $x$ (tales como la apertura de bolas $B_r(x):=\{y:d(x,y)< r\}$). Muchas topologías puede ser escrita en términos de las distancias (que son llamados metrizable), y estos no son malos modelos para imaginarlos. Sin embargo, esto no es cierto para todas las topologías: Hay algunos donde se puede decir que dos puntos son los vecinos (yo.e, uno se encuentra en un barrio de la otra) sin ser capaz de dar un solo número de la medición de la distancia. Prácticamente un ejemplo relevante es el conjunto de todas las funciones continuas, donde la topología es la de pointwise (en oposición a los uniformes de la convergencia.

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_{1. De hecho, el desarrollo de gran parte de la topología fue impulsado por esta pregunta, y la teoría podría tener más sentido si se mantiene esto en mente, mientras que el aprendizaje.}

Answer 4

Es muy común que en las matemáticas que usted comienza con un comprensibles, "mundo real" inspiradas definición. Pero luego te das cuenta de que algunas cosas no puede ser probada si usted insiste e.g.en el triángulo de la desigualdad, de manera de definir un objeto más abstracto sin ella.

No sé cómo la imagen de un general topológica del espacio, pero no la veo como una desventaja, ya que una imagen de este tipo podría llevar a suposiciones erróneas / mal intuición. Probando cosas abstractas, generalmente, significa que atenerse a las letras de la definición. Sin embargo me gustaría tener en cuenta que $(\mathbb R^n,\lVert\cdot\rVert_2)$ es un simple ejemplo de un espacio topológico, y a veces puede dar valiosa contraejemplos cuando estás perdido en la abstracción ;-)

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Edit: Responder a la pregunta en los comentarios (que podría haber entendido mal), que es como un $p$-norma induce una topología en $\mathbb R^n$:

Para $p\ge 1$ y $x=(x_1,...,x_n)\in\mathbb R^n$, $\lVert x\rVert_p = \left(\sum_{k=1}^n\right)^{1/n}$ define una norma. ($p=2$ por la norma Euclídea)

Para $x,y\in\mathbb R^n$, la función definida por $d:(x,y)\mapsto\lVert x-y\rVert_p$ es una métrica.

Entonces, la configuración de los conjuntos de $B_r(x):=\{y\in\mathbb R^n\mid d(x,y) < r\}$ cualquier $x\in\mathbb R^n, r>0$ como abrir (y sus uniones e intersecciones) define una topología en $\mathbb R^n$.

Answer 5

La forma en que siempre he pensado de la topología fue como una manera de describir lo que la "cercanía" y "lejanía", es decir, para dar un sentido de "espacio" o "ubicación" a un conjunto. El problema aquí es que esto sólo tiene sentido para ciertas topologías. Ejemplos en los que no existe una clara noción de convergencia en realidad un significado muy cerca de llegar a nada, sería el cofinite topología (es decir, $(X, \tau)$ donde $\tau$ es el conjunto de todos los subconjuntos de a $S \subseteq X$ tal que $X \setminus S$ es finito), o topologías como $\tau = \tau_{x} = \{ S \subseteq X : x \in S \}$. Nuestra topología profesor nos dijo que a menos que su espacio es Hausdorff (es decir, para cualesquiera dos puntos a $x, y \in X$, existen abrir conjuntos de $U, V \in \tau$ tal que $x \in U$, $y \in V$, y $U \cap V = \emptyset$), entonces usted realmente no tiene una topología que transmite estas ideas de "espacio".

Cuando no estás Hausdorff, todavía hay cosas interesantes que se pueden hacer con una topología (por ejemplo, se puede mostrar que el teorema de Tychonoff es equivalente al axioma de elección). Como alternativa, aunque esto puede ser un tramo, a veces encontrarás que puede utilizar otros objetos para inducir topologías que no son en sí Hausdorff, pero usted encontrará que la inducida por la topología puede transmitir otro tipo de información.

Un ejemplo es considerar una probabilidad de espacio $(X, \mathcal{F}, \mu)$, es decir, un espacio de probabilidad tal que si $\mu(F) = 0$, e $E \subseteq F$, $\mu(E) = 0$ (tenga en cuenta que un Borel probabilidad de espacio no es generalmente completa). En este caso, si definimos $\tau = \{ F \subseteq X : \mu(F) = 1 \} \cup \{ \emptyset \}$, entonces tenemos una topología. Ahora, en general, esto no va a cumplir muchos de sus axiomas de separación. Por ejemplo, si consideramos la probabilidad de espacio $([0, 1], \mathcal{L}, \lambda)$ donde $\lambda$ es la medida de Lebesgue y $\mathcal{L}$ es la culminación de la Borel $\sigma$-álgebra, entonces usted no tiene divisibilidad. Se puede comprobar que es $\textrm{T}_{1}$, pero no va a ser $\textrm{T}_{2}$. Para ver esto, supongamos por contradicción que $x, y \in [0, 1]$,$x \in U, y \in V, U \cap V = \emptyset, \mu(U) = \mu(V) = 1$. A continuación,$\mu(U \cup V) = \mu(U) + \mu(V) = 2 > \mu([0, 1])$, una contradicción. Que no topología generada de esta forma es $\textrm{T}_{2}$ va a seguir de la misma manera.

Segundo, vamos a $\mathcal{U}$ ser un ultrafilter, es decir, una familia de subconjuntos de a $X$ tales que (i) cada superconjunto de un elemento de $\mathcal{U}$ es un elemento de $\mathcal{U}$, (ii) cada intersección finita de elementos de $\mathcal{U}$$\mathcal{U}$, y (iii) para cada subconjunto $S \subseteq X$, $S \in \mathcal{U}$ o $S^{\complement} \in \mathcal{U}$, pero no tanto. Es trivial ver que $\tau = \mathcal{U} \cup \{ \emptyset \}$ es una topología (el cierre de intersecciones finitas está garantizada por (ii), y el cierre arbitrario de la unión se ha prometido por (i)). En este caso, podemos demostrar que una topología de tal nunca es Hausdorff, otra vez, porque no podemos tener distintos bloques abiertos. Supongamos por contradicción que $x \in U \in \mathcal{U}, y \in V \in \tau, U \cap V = \emptyset$. A continuación, ya que ni $U$ ni $V$ está vacía, tenemos que ambos deben ser elementos de $\mathcal{U}$. Por lo tanto $V \subseteq U^{\complement} \Rightarrow V^{\complement} \supseteq U \Rightarrow V^{\complement} \in \mathcal{U}$. Pero esto significa que tanto $V$ $V^{\complement}$ son elementos de $\mathcal{U}$, contradiciendo axioma (iii).

Pero, ¿qué tanto topologías de transmitir, es decir, las propiedades que definen el abierto de los conjuntos de $\tau$, son uno de los que son transmitidos por, digamos, $\mathbb{R}$ con su estándar métrico, y que es un cierto sentido de la grandeza. Un conjunto de probabilidad $1$ es grande en el sentido de la medida, y un elemento de un ultrafilter es grande en el sentido de la ultrafilter. Del mismo modo, un conjunto abierto en $\mathbb{R}$ es "grande" en el sentido de que se rodea todos sus puntos, mientras que un no-conjunto abierto no. De nuevo, esto podría ser un tramo, pero sí sugiere que incluso un no-espacio de Hausdorff puede ser útil.