Que $I$ ser incontables. ¿Cómo probar que $\left(\prod\limits_{i\in I}\mathbb{Z}x_i\right)/\sum\limits_{i\in I }\mathbb{Z}x_i$ siempre contienen innumerables Módulo inyectivo? ¿Podemos nosotros construir explícitamente?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Si no me equivoco esto ya es cierto para $I={\mathbb N}$.
Para cualquier grupo abelian $A$, el subgrupo $D(A)$ de los divisible elementos (los $a\in A$ para los que por cualquier $n\in {\mathbb N}$ existe alguna $b\in A$ tal que $nb=a$) es la única máxima inyectiva subgrupo de $A$. En el caso de $A := {\mathbb Z}^{\mathbb N}/{\mathbb Z}^{({\mathbb N})}$ estas son precisamente las clases de $[(a_n)_n]$ de las secuencias de $(a_n)_n$ para los que por cualquier $k\in{\mathbb N}$ $a_n$ son finalmente divisible por $k$. Por ejemplo, $(n!)_n$ es una secuencia.
Ahora bien, dado cualquier contables secuencia $(a^{(1)}_n)_n,(a^{(2)}_n)_n,\ldots$ de estas secuencias, se puede usar un argumento de diagonalización para construir otra secuencia en $D(A)$ que no puede ser expresada como una integral de la combinación de la $(a^{(i)}_n)_n$ aún ${\mathbb Z}^{({\mathbb N})}$: Aproximadamente, para cualquier potencia principal $q$, ver algunas de las $n_q\gg 0$ tal que $a^{(i)}_k$ son divisibles por $q$ $i<q$ y $k>n_q$, y elija la $a_n$ a no ser divisible por $q$ todos los $n\leq 2n_q$, dicen.
¿Quieres trabajar en los detalles ti mismo?
