Final de la 3-variedad

Question

Deje $M$ ser una irreductible, orientable, abierta 3-colector con finitely generado grupo fundamental, esto nos da una Scott Core $C\hookrightarrow M$, de modo que la inclusión es un homotopy de equivalencia y de tal manera que los extremos de $M$ están en correspondencia 1-1 con los componentes de la $M\setminus int(C)$.

Deje $\mathcal E$ ser un fin y $\partial_{\mathcal E} C$ ser el límite componente al que se enfrenta. Quiero mostrar que la inclusión $\partial_{\mathcal E} C\hookrightarrow Z$ $Z$ el componente de $M\setminus int(C)$ contiene $\mathcal E$, es un isomorfismo en $H_1$.

Puedo conseguir surjectivity pero no puedo conseguir de inyectividad.

Answer 1

$H_i(M,C)=0$ en el supuesto de que la inclusión de $C$ es una equivalencia de homotopía. Ahora usar la supresión en el interior de $C$ para ver que $H_i(M \ \text{int }C,\partial C)=0$. $(M \setminus \text{int } C,C)$ Es la Unión de separados de los espacios que te interesa, y homología (relativa) es añadido en Unión separada, por lo tanto todos tus grupos son cero.

(Si uno es pedante que dicen "usted necesita el sistema que es suprimir para que cierre en $C$! Pero basta con echar una vecindad tubular del límite etcetera.)

Answer 2

Esta es una respuesta a la pregunta que usted pide en los comentarios de Mike respuesta.

Teorema. Supongamos que $C\subset M$ es una Scott núcleo compacto de una irreductible 3-colector $M$. A continuación, para cada componente $E\subset M- int(C)$ (informalmente conocido como un "fin" de la $M$), para el (necesariamente conectado) superficie límite de $S=\partial E$, la inclusión $i: S\to E$ induce un isomorfismo $i_*$ fundamentales de los grupos.

Prueba.

1. En primer lugar, veamos la parte difícil, la inyectividad de $i_*$. (Es más difícil, ya que utiliza algunos no trivial resultados de 3-dimensiones de la topología.) Voy a trabajar en la PL categoría. Supongamos que $i_*$ no es inyectiva. Entonces, por el Bucle Teorema, existe un bucle simple $L\subset S$ delimitador correctamente un disco incrustado $D_1\subset E$ tal que $L$ no vinculado a un disco en $S$. Sin embargo, la inclusión de $C\to M$ $\pi_1$- inyectiva. Por lo tanto, el bucle $L$ como es arriba, es nulo-homotópica en $C$. Por el Dehn Lema, ya $L$ es simple, los límites correctamente un disco incrustado $D_2\subset C$. (Este es un accidente histórico que uno de los resultados que yo uso se llama un teorema y el otro se llama lexema, ambos son muy duros, con el primer correcta de la prueba debido a Papakyriakopoulos.) Desde $M$ es irreductible, la 2-esfera $D_1\cup D_2$ límites de una 3-bola de $B\subset M$. Deje $S':= S\cap B$. Este subsuelo de $S$ tiene exactamente un límite componente, a saber, $L$. Yo reclamo que $S'$ es la de 2 discos, que contradice el hecho de que $L$ no vinculado a un disco en $S$. Supongamos que no. Entonces el interior de $S'$ contiene dos simples bucles $a, b$ que se cruzan de manera transversal en exactamente un punto. Por lo tanto, uno de estos bucles, dicen, $a$, es homologically no trivial en $C$. Pero $a$ está contenida en el 3-bola de $B\subset M$ y, por lo tanto, es homologically trivial en $M$. (Déjeme saber si usted quiere ver una prueba.) Por lo tanto, la inclusión del mapa de $C\to M$ no es un homotopy-equivalencia. Una contradicción. Por lo tanto, $i_*$ es inyectiva.

2. Voy a probar ahora el surjectivity de $i_*$. Deje $C'$ denotar $(M - E) \cup S$. Desde la inclusión $C\to M$ $\pi_1$- surjective, por lo que es la inclusión $C'\to M$. Por el Seifert - van Kampen teorema, el grupo fundamental de la $M$ es el pushout del diagrama $$ \pi_1(C')\leftarrow \pi_1(S)\rightarrow \pi_1(E). $$ Si $i_*$ no es surjective, el homomorphism $\pi_1(C')\to \pi_1(M)$ no puede ser surjective: Esto es una consecuencia de que el grupo de la teoría de la hecho de que si usted tiene un grupo de amalgama $$G=G_1 \star_{G_3} G_2$$ y $G_3\ne G_2$$G_1\ne G$. Una contradicción. qed