Hoi, considere la posibilidad de la Hilbertspace $l^2$, y la Izquierda y a la Derecha de cambio de operador
\begin{align*} L(x_1,x_2,\cdots) &= (x_2,x_3,\cdots)\\ R(x_1,x_2,\cdots) &= (0,x_1,x_2,\cdots ) \end{align*}
Sé que $L^*=R$, por lo que estos operadores de Hilbert-espacio adjoints. El espectro consta de 3 partes disjuntas $\sigma(T) = \sigma_p(T)\cup \sigma_c(T)\cup \sigma_r(T)$. Suponiendo que usted está familiarizado con estos conceptos: $\sigma_p(T)$ es el punto de espectro, $\sigma_c(T)$ es de un espectro continuo y $\sigma_r(T)$ el espectro residual.
Quiero mostrar que la $$\sigma_p(L) = \sigma_r(R) = \{\lambda :|\lambda|<1\} $$ $$\sigma_c(L)=\sigma_c(R) = \{\lambda : |\lambda|=1\} $$ $$\sigma_r(L)=\sigma_p(R) =\emptyset. $$
Me topé con un par de problemas. Puedo ver que $\rho(L),\rho(R)<1$, de modo que $\{\lambda: |\lambda|>1\}$ está contenida en el resolvent-conjuntos de ambos $L$, e $R$. Puedo calcular el punto de espectro para $L$, e $R$.
Así, por $L$ i puede calcular el $\sigma_p(L)=\{\lambda : |\lambda|<1\} $ y desde $\sigma(L)$ es cerrado, y $\{\lambda: |\lambda|>1\}$ está contenida en el resolvent de $L$ nos encontramos con que $\sigma(L) = \{\lambda: |\lambda| \leq 1\}$. Por lo tanto $$\sigma_c(L)\cup \sigma_r(L)= \{\lambda: |\lambda | =1\}. $$
Apparantly que se puede utilizar el hecho de que $L$, e $R$ son eachothers adjoints, y la lectura de la internet me encontré con que $\sigma(T) = \sigma(T^*)$, o algo como $\lambda \in \sigma(T) $implica $\overline{\lambda}\in \sigma(T^*)$ que es algo que no puede probar. Esperaba ser capaz de utilizar este hecho por parte de algunos Teorema de la Rudin. (este ejercicio es también de Rudin CH. 12 ejercicio 18.c)
Apparantly el hecho de que $\lambda \in \sigma_r(L)$ implica que el $\overline{\lambda}\in \sigma_p(L^*) = \sigma_p(R) = \emptyset$, por lo que podemos concluir que $\sigma_r(L)=\emptyset$. Yo no entiendo de esto en absoluto.
Puede alguien explicar esto un poco? Cómo ir desde aquí? Gracias de antemano.
