¿La existencia de productos en la categoría de conjuntos implica el axioma de elección?

Question

Si por cada familia $(X_i)_{i\in I}$ de conjuntos, existe un producto categórico en la categoría $\mathbf{Set}$ de conjuntos, ¿implica esto que la construcción teórica de conjuntos $\left\{(x_i)_{i\in I}\in\left(\bigcup_{i\in I}X_i\right)^I\middle|x_i\in X_i\text{ for all $ i $}\right\}$ es no vacía, es decir, que se cumple el axioma de elección?

Answer 1

No en un mundo sin elección puede ser simplemente que $\varnothing$ cumple las condiciones para ser el objeto del producto.

Lo haría casi de forma vacía: Para aplicar la propiedad universal de los productos habría que tener un objeto $Y$ y una familia de morfismos $Y\to X_i$ pero si $(X_i)_i$ no tiene una función de elección, entonces tal familia de morfismos no puede existir a menos que $Y$ resulta ser el conjunto vacío.