Espacio cotangente de Zariski de cúspide en origen y en el punto genérico

Question

Quiero explícitamente calcular el Zariski la cotangente espacios de la cúspide $X=Z(x^3-y^2)\subset \mathbb{C}^2$. Puedo trabajar con las definiciones, pero no tengo idea de cómo calcular este (este es un problema que suelen tener...). Así que, por definición, consideramos el anillo $$A=\mathbb{C}[x,y]/\langle x^3-y^2\rangle$$ Y, a continuación, algunos máxima ideal $\mathfrak{n}=\langle \overline{x-1},\overline{y-1}\rangle\subset A$. A continuación, calculamos el $$A_{\mathfrak{n}}=\left( \mathbb{C}[x,y]/\langle x^3-y^2\rangle \right)_{\langle \overline{x-1},\overline{y-1}\rangle }$$ y de considerar su ideal maximal $\mathfrak{m}=\mathfrak{n}A_{\mathfrak{n}}$, y por último calculamos el $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$. Francamente no tengo idea de cómo ir sobre esto. Sé que $$A\cong \mathbb{C}[t^2,t^3]=A'$$ y parece que en virtud de este isomorfismo $\mathfrak{n}$ sería enviar a $\mathfrak{n}'=\langle t^2-1,t^3-1\rangle$. Ahora todavía no veo cómo calcular $A'_{\mathfrak{n}'}$, pero esto podría ser porque yo soy malo en esto...

Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

En un punto suave en una curva, la máxima ideal del anillo local es la directora. (Ver aquí para más condiciones equivalentes.) Aquí está una manera rápida y sucia de ver esto por su ejemplo. \begin{align*} y^2 = x^3 \implies y^2 - 1 = x^3 - 1 \implies (y-1)(y+1) = (x-1)(x^2+x+1) \end{align*} Desde $y+1$ $x^2+x+1$ son ambas unidades en $A_\mathfrak{n}$ (que no se desvanecen en el punto de $(1,1)$), $x-1$ $y-1$ asociados. Entonces $$ (x-1,y-1) = (x-1) = (y-1) $$ en $A_\mathfrak{n}$, por lo que $$ \frac{\mathfrak{m}}{\mathfrak{m}^2} \cong \frac{(x-1)}{((x-1)^2, (x-1)(y-1), (y-1)^2)} \cong \mathbb{C} $$ es una $1$-dimensional espacio vectorial con base $x-1$ (o $y-1$). Esto corresponde a nuestra intuición: en un punto suave en la curva hay una única recta tangente, por lo que la tangente y la cotangente espacios deben ser $1$-dimensional.

Un método más general es la siguiente. Considere la posibilidad de la expansión de Taylor de $f = y^2 - x^3$ en el punto de $(a,b)$: $$ f = -3a^2(x-a) + 2b (y-b) - 3a (x-a)^2 + (y-b)^2 - (x-a)^3 \, . $$ Desde $f = 0$ en el cociente, esto nos permite relacionar $x-a$ $y-b$ para cualquier punto de $(a,b) \neq (0,0)$. Puedes hacer esto por su ejemplo $(a,b) = (1,1)$, o ver el post vinculado para más detalles.

Usted probablemente puede ver también por qué este tipo de argumento se rompe por $(a,b) = (0,0)$. No tenemos una doble línea tangente $y = 0$, y, en consecuencia, $f_x(a,b) = -3a^2$ $f_y(a,b) = 2b$ ambos desaparecen. Entonces \begin{align*} \frac{\mathfrak{m}}{\mathfrak{m}^2} \cong \frac{(x,y)}{(x^2, xy, y^2)} \end{align*} que es $2$-dimensional, ya que $x,y$ es una: no hay combinación lineal $c_1 x + c_2 y$ se encuentra en $(x^2, xy, y^2)$.

(Un inciso, tenga cuidado de usar el término "genérico" en su sentido intuitivo. El genérico punto de $\operatorname{Spec}(A)$ es el cero ideal $(0)$.)