Una integral con movimiento browniano

Question

Dejemos que $B_t$ $(t \geq 0)$ sea un movimiento browniano en $\mathbb{R}^3$ . Es decir, $B_t = (B_{t}^{(1)},B_{t}^{(2)},B_{t}^{(3)})$ donde cada $B_{t}^{(i)}$ es un movimiento browniano en $\mathbb{R}$ . Dejemos que $Y$ sea un subconjunto de Borel de $\mathbb{R}^3$ .

Se me pide que demuestre que $$ \mathbb{E} \left( \int_{0}^{\infty} I({\{t:B_t \in Y\}})(t)dt \right) = c\int_{Y}\frac{dy}{|B_0 - y|}. $$ para alguna constante $c$ . Aquí $I(A)$ denota la función indicadora de un conjunto $A$ .

Utilizando el Teorema de Fubini en el lado izquierdo, reduje la ecuación a $$ \int_{0}^{\infty} \mathbb{P}(B_t \in Y) dt = c\int_{Y}\frac{dy}{|B_0 - y|}. $$

Por desgracia, no sé qué hacer ahora. Agradecería cualquier ayuda.

Gracias.

EDIT: Como algunas personas han señalado, la expectativa y la probabilidad en el lado izquierdo de ambas ecuaciones probablemente deberían estar condicionadas a $B_0$ . El profesor ha sido un poco descuidado en esto con el movimiento browniano.

Answer 1

Sospecho que es la expectativa del lado derecho o la expectativa condicional con respecto a $B_0$ en el lado izquierdo. Pero la ecuación tal como está no puede ser ya que el lado derecho es estocástico y el izquierdo determinista. Suponiendo que se le pregunte $$\mathbb{E} \left( \int_{0}^{\infty} I({\{t:B_t \in Y\}})(t)dt | B_0 \right) = c\int_{Y}\frac{dy}{|B_0 - y|}.$$

Todavía se puede utilizar Fubini, por lo que la cuestión se reduce a calcular: $$P(B_t \in Y | B_0) = P(B_t - B_0 \in Y - B_0 | B_0)$$
(recordemos que $P(A | Y) = E( 1_A | Y )$ ). Dado que el incremento $B_t - B_0$ es independiente de $B_0$ y sigue una Normal multivariante $(0,diag(t,t,t))$ la probabilidad condicional es igual a $$ \int_{Y - B_0} \frac{1}{(2\pi t)^{3/2}} e^{-\frac{s_1^2 + s_2^2 + s_3^2}{2t}} ds_1 \, ds_2 \, ds_3$$ Luego se hace el cambio $u = s-B_0$ Fubini de nuevo, integrando con respecto a $t$ y debería obtener el resultado.