La enumeración de los subgrupos finitos de $\operatorname{PGL}_2(\mathbb{C})$ es uno de los clásicos problemas de clasificación: los matemáticos en muchos campos del saber, así que la respuesta es cíclico grupos, grupos diedros, $A_4$, $S_4$ y $A_5$. Además cada uno de estos grupos se produce exactamente una vez, hasta conjugacy.
No había pensado en esta clasificación mucho durante muchos años (si en absoluto), pero recientemente he tenido un poco de impulso para hacerlo. En particular, actualmente estoy leyendo esta maravillosa nota de A. Beauville, que trata de la clasificación de los subgrupos finitos de $\operatorname{PGL}_2(K)$ para cualquier campo $K$ de los característicos $0$. Aquí el nuevo trabajo no es tanto saber exactamente qué grupos pueden ser realizados en un determinado $K$, pero en lugar de trabajar fuera de la clasificación a a $K$-racional conjugacy, que resulta ser un problema interesante de Galois cohomology.
En algunos de los recientes cavilaciones he estado pensando acerca de Galois cohomology de subgrupos finitos de $\operatorname{PGL}_N(K)$, pero se me ocurre que no sé nada en concreto, pasado $N = 2$. Bueno, puedo ver que cada grupo finito se produce como un subgrupo de $\operatorname{PGL}_N(K)$ para cualquier campo $K$ y suficientemente grande $N$, por lo que, obviamente, sólo se puede pedir mucho.
Así que...¿qué acerca de la $\operatorname{PGL}_3(\mathbb{C})$? En particular:
1) ¿cuáles son los subgrupos finitos de $\operatorname{PGL}_3(\mathbb{C})$.
2) Es aún el caso de que si un grupo finito puede ser incrustado en $\operatorname{PGL}_3(\mathbb{C})$, la incrustación es único hasta conjugacy? Si es así, hay un principio general en el trabajo aquí?
Tenga en cuenta que Beauville da pruebas de todo en la $\operatorname{PGL}_2$ de los casos. Pero gran parte de su clasificación de los argumentos de vuelta en el "accidental isomorfismo" $\operatorname{PGL}_2 \cong SO(q)$ donde $q = x^2 + yz$. Tal vez si estos argumentos generalizada a $\operatorname{PGL}_N$ en algunos conocidos manera, él habría dado pruebas de que generalizar así...
