Irreductible en$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$

Question

¿Cómo puedo probar que$2+\sqrt{-5}$ es irreductible en$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$? Traté de mostrar por$2+\sqrt{-5}=(a+b\sqrt{-5})(c+d\sqrt{-5})$ pero no pude obtener una contradicción.

Answer 1

Si $2+\sqrt{-5} = AB$, entonces el $9=N(2+\sqrt{-5})=N(A)N(B)$ donde $$N(u+v\sqrt{-5})=(u+v\sqrt{-5})(u-v\sqrt{-5})=u^2+5v^2$% #%N #% (A) = 1 $ is the norm. If $N (B) =1$ or $A$, then $B$ is a unit or $2+\sqrt-{5} $ is a unit, respectively. So if $A %, B $ is reducible, there must be $N (A) = N (B) = 3 $ with $A $. Show that there can't be any $N (A) = 3$.

Answer 2

Mientras que usted ya tiene un muy buen indicio, pensé que valdría la pena ampliar un poco sobre el conceptual de la motivación. En general, cuando se estudia la factorización de la teoría de anillos de enteros algebraicos uno puede deducir que una gran cantidad de estudiar la factorizations de sus correspondientes normas que forman un multiplicativo submonoid de los números enteros. Esto es cierto, simplemente porque la norma mapa es multiplicativa por lo que conserva muchas de las propiedades relacionadas con la factorización. Por ejemplo, en muchos contextos favorables (por ejemplo, Galois) un número anillo disfruta de factorización única iff su monoid de normas. Referencias (Bumby y Dade, Lettl, Coykendall) ver mi sci.matemáticas post el 19 de diciembre de 2007 parcialmente presentado a continuación (ver el post de la AMS opiniones relacionadas con interesantes ponencias).

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Deje $d\,$ ser un squarefree entero positivo, con $\,d > 1,\,$ y deje $R\,$ ser el anillo de enteros de la real cuadrática campo de número de $\,\Bbb Q(\sqrt d).\,$ Deje $\,z \in R\,$ ser tal que $\,N(z)\,$ es compuesto.

Pregunta $(1)\!:\ $ $z$ ser reducible en $R\,?$

No, por ejemplo, inerte primos $p\,$ ha $\, N(p) = p^2.$

Un número de anillo es un PID iff sus átomos tienen el primer poder de normas, es decir, exactamente un primer $\,p\,$ se produce en las normas de un elemento irreductible $\,N(q) = p^n,\, p,q\,$ átomos en resp. los anillos. La prueba es fácil.

Pregunta $(2)\!:\ $ Si existen nonunits $\,x,y \in R\,$ tal que $\,N(x) N(y) = N(z),\,$ $\,z\,$ ser reducible en $\,R\,?$

No, por ejemplo, $\,x = y = 3,\, z = 5 + 2 \sqrt{-14}.$

Bumby y Dade [2] clasifican los cuadrática de los campos de número de $K$ donde reducibilidad sólo depende de la norma. Denota el grupo de clase por $H,$ se demostró $K$ satisface esta propiedad iff

(a) $\ H\,$ ha exponente $2,\,$ o
(b) $\ H\,$ es impar, $\,$ o
(c) $\ K\,$ es real con el positivo de la unidad fundamental y el $2$-subgrupo de Sylow en el estrecho de la clase de grupo es cíclico.

Nota el ejemplo anterior $\,\Bbb Q(\sqrt{-14})$ grupo de clase $\,K = {\rm C}(4)\,$ con exponente $4$.

Ver Coykendall del documento [1] para una discusión reciente de resultados relacionados y generalizaciones.

[1] Jim Coykendall. Propiedades de la normset relacionadas con el grupo clase.
http://www.ams.org/proc/1996-124-12/S0002-9939-96-03387-4
http://www.math.ndsu.nodak.edu/faculty/coykenda/paper3.pdf

[2] 35 #4186 10.65 (12.00)
Bumby, R. T. Irreductible enteros en las extensiones de Galois.
Pacífico J. Math. 22 de 1967 221--229.