Mostrando difeomorfismo entre$S^1 \subset \mathbb{R}^2$ y$\mathbb{RP}^1$

Question

Estoy tratando de construir un diffeomorphism entre el $S^1 = \{x^2 + y^2 = 1; x,y \in \mathbb{R}\}$ con topología de subespacio y $\mathbb{R P}^1 = \{[x,y]: x,y \in \mathbb{R}; x \vee y \not = 0 \}$ con cociente de la topología y estoy un poco atascado.

Me han demostrado que ambos son suaves colectores, y he utilizado la proyección estereográfica para $S^1$, pero ahora estoy ejecutando en problemas cuando le doy al homeomorphism entre el $S^1$ $\mathbb{RP}^1$ como el mapa que toma una línea en $\mathbb{RP}^1$ hasta el punto en $S^1$ que se obtiene al dejar la línea paralela a ir a través de los respectivos polos utilizados en la proyección estereográfica.

Si yo uso los polos norte y sur puedo obtener un potencial de homeomorphism, pero no se puede capturar la línea horizontal en mi imagen, pero cuando elijo decir el norte y el este, a continuación, mi mapa no está bien definida como puedo obtener diferentes líneas para el mismo punto en $S^1$. Puede alguien darme una pista de cómo hacer este trabajo de la construcción, o es mejor pasar a una representación diferente de $S^1$ ?

Answer 1

Considere el atlas estereográfico$\{(U_\alpha, \varphi_\alpha), (U_\beta, \varphi_\beta)\}$ donde$U_\alpha=\mathbb S^1-\{(0, 1)\}$ y$U_\beta=\mathbb S^1-\{(0, -1)\}$. Aquí$\varphi_\alpha$ está dado por$$(x, y)\mapsto u=\frac{x}{1-y},$$ whereas $ \ varphi_ \ beta$ is given by $$(x, y)\mapsto v=\frac{x}{1+y}.$$ I don't know if I have given the right names for the south and north projection, but you decide later..Now consider the atlas $ \ {(U_1, \ varphi_1), (U_2, \ varphi_2) \}$ for $ \ mathbb R \ mathbb P ^ 1$ given by $ \ varphi_1: U_1 \ rightarrow \ mathbb R - \ {0 \}$, $$[(x, y)]\mapsto \frac{y}{x}$$ and $ \ varphi_2: U_2 \ rightarrow \ mathbb R - \ {0 \}$ is given by, $$[(x, y)]\mapsto \frac{x}{y}.$$ Define $ \ psi: \ mathbb R \ mathbb P ^ 1 \ rightarrow \ mathbb S ^ 1$ setting $$\psi(u)=\left\{\begin{array}{ccc}\varphi_\alpha^{-1}\circ \varphi_1&\textrm{if}&u\in U_1\\ \varphi_\beta^{-1}\circ \varphi_2&\textrm{if}&u\in U_2\end{array}\right..$$ In this case $ \ psi$ is defined in $ U_1 \ cup U_2 = \ mathbb R \ mathbb P ^ 1$, but for it to be well defined you must check that in $ U_1 \ cap U_2$, $ $\varphi_\alpha^{-1}\circ \varphi_1=\varphi_\beta^{-1}\circ \varphi_2.$ $ Este será tu diffeomorfismo ..

Answer 2

El mapa explícito más fácil que conozco es:$$(\cos(\theta), \sin(\theta))\mapsto [\cos(\theta/2):\sin(\theta/2)]$ $

Tenga en cuenta que aunque$\cos(\theta/2)$ y$\sin(\theta/2)$ dependen de$\theta$ y no solo de$\sin(\theta)$ y$\cos(\theta)$, el mapa está bien definido siempre que usemos el mismo valor de$\theta$ al calcular las coordenadas en$S^1$. Es decir,$$\cos(\frac{\theta+2\pi}{2})=-\cos(\theta/2) \text{ and } \sin(\frac{\theta+2\pi}{2})=-\sin(\theta/2)$$ So the choice of $ \ theta$ modulo $ 2 \ pi$ does not affect $ [\ cos (\ theta / 2): \ sin (\ theta / 2)]$, since $ [x, y] = [- x, ​​-y] $.

Answer 3

No estoy seguro de que me siga a todas partes de la pregunta. En particular, no está claro para mí lo que `una línea en $\mathbb{RP}^{1}$", pero esto puede ser algo que es evidente para los demás. Sin embargo, puedo decir que no me gusta la idea de ver tanto $S^{1}$ $\mathbb{RP}^{1}$ en el mismo ejemplar $\mathbb{R}^{2}$ (creo) de que pueda llevar a confusión ya que $S^{1}$ es una doble cubierta de $\mathbb{RP}^{1}$ con el cociente mapa. Esto puede o no puede estar donde tu confusión viene en.

De todos modos, aquí es cómo veo el de la construcción (yo no puedo prometer que me conserva las orientaciones de cada uno, pero se puede jugar con los que, si es necesario). Empezar con $S^{1} \subset \mathbb{R}^{2}_{(x, y)}$ e ver $\mathbb{RP}^{2}$ como procedente de un cociente de $\mathbb{R}^{2}_{(u, v)}$, donde la puedo usar los subíndices $(x, y)$ $(u, v)$ para denotar coordenadas. (Nota: Esto es ciertamente una superficial de etiquetado, sino que proporciona una imagen más clara (al menos para mí)).

Voy a caminar a través de la totalidad de la construcción, tanto geométricamente y en las coordenadas, y me disculpo si la respuesta es demasiado prolijo. La intuición debe ser claro, sin embargo: cortar un $S^{1}$ y comprimir de forma adecuada, de modo que los extremos será cerca del mismo punto en $\mathbb{RP}^1$. Con la retrospectiva de tener un trabajo de construcción, hay maneras más fáciles de ver lo que está sucediendo.

Ahora, definir un mapa de $\phi : S^{1}\backslash N \to \mathbb{R}$ a través de la proyección estereográfica desde el Polo Norte. Para un punto de $P(x, y) \in S^{1}\backslash N$ por lo tanto tenemos a $\phi(P) = \frac{-x}{y -1}$. Esto identifica a $S^{1}\backslash N$$\mathbb{R}_{t}$, y ahora simplemente tenemos que mapa esta copia de la línea real a la cubierta de un hemisferio de $S^{1} \subset \mathbb{R}^{2}$ y, a continuación, enviar el Polo Norte a la adecuada equivalencia de la clase.

Definir $\gamma : \mathbb{R}_{t} \to \mathbb{R}^{2}_{(u,v)}$ por $$\gamma(t) = \left( \frac{t}{\sqrt{t^2 + 1}}, \frac{1}{\sqrt{t^2 + 1}}\right),$$ y observar que este cubre todos los de la (estricto) en el hemisferio norte de $S^{1} \subseteq \mathbb{R}^{2}_{(u, v)}$. Este mapa se describe geométricamente a continuación.

Su mapa deseado de $S^{1} \subseteq \mathbb{R}^{2}_{(x, y)} \to \mathbb{RP}^{1}$ es el dado por

$$ \Phi(P) = \begin{cases} [\gamma \circ \phi (P(x,y))] = \left[\frac{-x}{\sqrt{x^2 + (y-1)^2}}, \frac{1-y}{\sqrt{x^2 + (y-1)^2}}\right], & \text{if } P(x, y) \ne N \text{ } \\ [1,0], & \text{if } P(x, y) = N \end{casos}. $$

Hemos llegado a este momento (y no me gustan las coordenadas de los mapas como estos), así que voy a resumir brevemente la construcción de la más geométrica mente y el punto a uno similar que he observado después del hecho.

1. La proyección estereográfica de$S^{1}\backslash N$$\mathbb{R}_{t}$.
2. Identificar las $\mathbb{R}_{t}$ con la línea de $u = 1$$\mathbb{R}^{2}_{(u, v)}$.
3. Definir un mapa de la línea $u = 1$ para el hemisferio norte de la $S^{1} \subseteq \mathbb{R}^{2}_{(u, v)}$ observando la intersección del vector de posición $\langle u, 1 \rangle$ con el hemisferio norte. (2. y 3. definir el mapa de $\gamma$).
4. Tomar clases de equivalencia y enviar$N$$[1,0]$.

Después de que el hecho se me ocurrió que se podría fácilmente hacer lo siguiente (sin superficial etiquetas en las coordenadas):

1. Stereographically proyecto de $S^{1}\backslash (South Pole)$ a la línea de $y = 1$
2. Repita el mapa descrito en el punto 3. por encima de.
3. Tomar clases de Equivalencia y enviar el Polo Sur [1,0].