Débil convergencia en diferentes espacios$L^P$

Question

Considere la posibilidad de $p \ge \alpha \ge 1.$

Si una secuencia converge débilmente en $L^p,$ dice $u_n \rightharpoonup u$ es verdad que: $$u_n^{\alpha} \rightharpoonup u^{\alpha} \text{ in $L^{p/ \alpha}$}$$

Esta pregunta vino a mí, tratando de resolver el siguiente:

La composición de una débilmente convergente de la secuencia con una función no lineal\

Siempre se puede argumentar que $u_n^{\alpha}$ tiene una convergencia larga, pero yo no podía ir a ninguna parte con esto.

Answer 1

Sostiene desde $u_n\in L^p$ $u_n^\alpha\in L^\frac{p}{\alpha}$. Deben ser los correctos hasta el momento. $p\not=\alpha$ Su reclamo sostiene desde reflexiv de ist de $L^q$ $1<q<\infty$. Si $p=\alpha$ no tengo ni Idea lo siento. ;)