Es $\sqrt{1 + \sqrt{2}}$ una unidad en algún anillo de enteros algebraicos?

Question

Desde $\sqrt{1 + \sqrt{2}}$ tiene un polinomio mínimo $x^4 - 2x^2 - 1$ me parece que este número debería ser una unidad en algún anillo de enteros algebraicos.

Mi primer pensamiento fue que tal vez es una unidad en el anillo de enteros algebraicos de $\mathbb{Q}(\root 4 \of 2)$ pero $$\frac{\sqrt{1 + \sqrt{2}}}{1 - \root 4 \of 2} = -\sqrt{17 + 12 \sqrt{2} + 2 \sqrt{140 + 99 \sqrt{2}}},$$ un entero algebraico de grado $8$ . Hasta aquí todo lo que se ha dicho.

Luego se me ocurre que tal vez lo que estoy buscando es el anillo de enteros algebraicos de $\mathbb{Q}(\sqrt{1 + \sqrt{2}})$ que puede ser integralmente cerrado, pero no puedo asegurarlo.

Answer 1

Dejar $\alpha = \sqrt{1 + \sqrt{2}}$ y $K = \mathbb{Q}(\sqrt{1 + \sqrt{2}})$ entonces $\alpha$ es efectivamente una unidad en el anillo de los enteros $O_K$ e incluso en el ring $\mathbb{Z}[\alpha]$ (que puede o no ser el anillo completo de enteros). Uno puede ver esto desde el polinomio mínimo que encontró: $$ \alpha^4 - 2 \alpha^2 - 1 = 0 \implies 1 = (\alpha^3 - 2 \alpha)\alpha \implies \frac{1}{\alpha} = \alpha^3 - 2 \alpha \, . $$ De hecho, un elemento es una unidad en el anillo de enteros algebraicos si el término constante de su polinomio mínimo es una unidad en $\mathbb{Z}$ es decir, $\pm 1$ . (Nótese que el término constante del polinomio mínimo es $\pm$ la norma de campo $N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)$ .)