Calcule el siguiente límite$I=\lim_n\int_{[0,1]^n}f(x)\,dx_1\ldots dx_n$. $f$ es la función máxima sobre las coordenadas$n$.

Question

Calcule el siguiente límite $$I = \ lim_n \ int _ {[0,1] ^ n} f (x) \, dx_1 \ ldots dx_n,$$ donde $$ f: \ mathbb {R} ^ n \ a \ mathbb {R}, \ x = (x_1, \ ldots, x_n) \ mapsto \ max \ {x_1, \ ldots, x_n \}. $$

Answer 1

El % integral $I_n = \int_{[0,1]^n} \max\{x_1,x_2,\ldots,x_n\} dx_1 dx_2 \ldots dx_n$es el valor esperado de $M:=\max(X_1,X_2,\dots, X_n)$ donde $(X_j)$ son independientes, uniform(0,1) al azar variables. No es difícil demostrar que $M$ $f_M(x)=n x^{n-1} \,1_{[\, 0,1]}(x)$ de la densidad y así $$\mathbb{E}(M)=\int_0^1 x\, f_M(x)\,dx=n\int_0^1 x^n\,dx={n\over n+1}.

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Añadido: Podemos encontrar la función de distribución de $M$ directamente. $0\leq x\leq 1$,
$$\mathbb{P}(M\leq x) =\mathbb{P}(\cap_{i=1}^n [X_i\leq x])=\prod_{i=1}^n\mathbb{P}(X_i\leq x)=x^n.$$ Differentiating gives $f_M (x) = n x ^ {n-1}$.

Answer 2

Aquí hay un enfoque marginalmente diferente:

Dejar $N=\{ x \in [0,1]^n | x_i \neq x_j, \ \forall I \neq j \}$. Debe quedar claro que$m N = m [0,1]^n$, donde$m$ es la medida de Lebesgue. Deje$T = \{ x \in N | x_i > x_{i+1},\ \forall i \}$ y tenga en cuenta que$N = \cup_{\pi \in \Pi_n } \pi(T)$, donde$\Pi_n$ es el conjunto de funciones que permutan las variables en$[0,1]^n$. Además, tenga en cuenta que$\max(x_1,...,x_n) = \max([\pi(x)]_1,...,[\pi(x)]_n)$ para todos$\pi \in \Pi_n$.

Por lo tanto,$I_n = n! \int_T x_1 dx = \int_{x_1=0}^1\int_{x_2=0}^{x_1} \cdots \int_{x_n=0}^{x_{n-1}} x_1 dx = n! \frac{1}{(n+1)(n-1)!} = \frac{n}{n+1}$ y$\lim_n I_n = 1$.