Mostrar que inversible matrices con una condición adicional están diagonalizable.

Question

Que A y B ser inversible matrices 2 x 2 tales que AB = -BA sobre los números complejos. Demostrar que A y B son diagonalizable.

Answer 1

Completa los detalles:

Permita que$\;\lambda\;$ sea un valor propio de$\;A\;$ con el vector propio correspondiente$\;v\;$:

ps

y por lo tanto también $$ABv=A(Bv)=-BAv=-B(\lambda v)=-\lambda Bv$ es un valor propio de$\;-\lambda\;$ con corr. vector propio$\;A\;$.

Como$\;Bv\;$ obtenemos$\;\lambda\neq0\;$ es diagonalizable, y por simetría también$\;A\;$.

Answer 2

Tenemos$B=A^{-1}(-B)A$, por lo tanto,$B$ y$-B$ son similares. Como$B$ es invertible,$0$ no es un valor propio de$B$.

Ahora, si$\lambda_0$ es un valor propio de$B$, entonces$-\lambda_0$ es un autovalor de$-B$. Por similitud:$-\lambda_0$ es un valor propio de$B$.

El$2 \times 2$ - matriz$B$ tiene, por lo tanto, los dos valores propios distintos$\lambda_0$ y$-\lambda_0$