Demostrando que$\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\ge\frac32$ usando derivados

Question

Deje $a,b,c\in\mathbb{R}^+$$abc=1$. Demostrar que $$\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\ge\frac32$$

Esto no es difícil problema. Ya he solucionado en la siguiente forma:
Deje $x=\frac1a,y=\frac1b,z=\frac1c$,$xyz=1$. Ahora, es suficiente para demostrar que $$L\equiv\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac32$$ Ahora el uso de Cauchy-Schwarz desigualdad en los números de $a_1=\sqrt{y+z},a_2=\sqrt{z+x},a_3=\sqrt{x+y},b_1=\frac{x}{a_1},b_2=\frac{y}{a_2},b_3=\frac{z}{a_3}$ tengo $$(x+y+z)^2\le((x+y)+(y+z)+(z+x))\cdot L$$ A partir de este $$L\ge\frac{x+y+z}2\ge\frac32\sqrt[3]{xyz}=\frac32$$ Entonces traté de demostrar que el uso de derivados. Deje $x=a,y=b$ y $$f(x,y)=\frac1{x^3\left({y+\frac1{xy}}\right)}+\frac1{y^3\left({x+\frac1{xy}}\right)}+\frac1{\left({\frac1{xy}}\right)^3(x+y)}$$ Por lo tanto, necesito encontrar el valor mínimo de esta función. Será verdad cuando $$\frac{df}{dx}=0\land\frac{df}{dy}=0$$ Después de la simplificación $\frac{df}{dx}=0$ tengo $$\frac{-y(3xy^2+2)}{x^3\left({xy^2+1}\right)^2}+\frac{1-x^2y}{y^2\left({x^2y+1}\right)^2}+\frac{x^2y^3(2x+3y)}{\left({x+y}\right)^2}=0$$ ¿Hay alguna forma fácil de escribir $x$ en el plazo de $y$ a partir de esta ecuación?

Answer 1

Puede utilizar esta manera de hacerlo. Su $L\ge \frac32$ de la desigualdad es equivalente a $$2[x^2(x+y)(x+z)+y^2(x+y)(y+z)+z^2(x+z)(y+z)]\ge 3(x+y)(x+z)(y+z). $ $ sea$$ f(x,y,z)=2[x^2(x+y)(x+z)+y^2(x+y)(y+z)+z^2(x+z)(y+z)]-3(x+y)(x+z)(y+z)-\lambda(xyz-1). Define $$F(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)-\lambda(xyz-1). $ $ entonces conjunto de$$ \frac{\partial F}{\partial x}=0, \frac{\partial F}{\partial y}=0,\frac{\partial F}{\partial z}=0, \frac{\partial F}{\partial \lambda}=0. fácil cálculo demuestra que, $\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial y}$ da $(x-y)[3(x+y)+\lambda z]=0.$ % que $x=y$. Del mismo modo $x=y=z$. $xyz=1$ Y $x=y=z=1$. Así $f(x,y,z)$ alcanza su mínimo $0$ cuando $x=y=z=1$ o $f(x,y,z)\ge0$. Así $L\ge\frac32$.

Answer 2

¿Por qué debes usar derivados? la prueba es simple con Cauchy Schwarz: tenemos $$\frac{1}{a^3(b+c)}=\frac{\frac{1}{a^2}}{a(b+c)}=\frac{\frac{1}{a^2}}{\frac{b+c}{bc}}$ $, así tenemos$$ \frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq $$\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}}=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2(ab+bc+ca)}\geq \frac{1}{2}3\sqrt[3]{(abc)^2}=\frac{3}{2}