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Question

Estoy tratando de diferenciar $x!$ pero me parece que no puede hacerlo bien. Puedo definir la función como sigue:

$$x! = \prod_{r = 0}^{x}(x-r) \quad,\quad x \in \mathbb N$$

He intentado intentado probarlo por el primer principio, sino que era un callejón sin salida. La siguiente es una más fructífero intento aunque no proporciona ningún resultado concluyente:

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} x! = \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}x(x-1)!\\ x = \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(x-1)! + (x-1)!\\ = x( (x-1)\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(x-2)! + (x-2)! ) + (x-1)!\\ = x((x-1)((x-2)\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} (x-3)! + (x-3)!) + (x-2)!) + (x-1)!\\ = \dots$$

Este patrón se va repitiendo, y ni siquiera puedo encontrar una buena manera de expresar el patrón. Traté de abrir los soportes y reorganizando pero incluso entonces no veo ningún patrón que se mantiene.

Tal vez no hay un derivado? No sé. Me puede ayudar?

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Edit

: Gracias a @België y demás, me he dado cuenta de que no es posible diferenciar la función factorial por la definición que he dado (tonto de mí!) y ahora, entiendo por qué la digamma función es necesaria.

Pero, como se señaló en los comentarios de @WarrenHill, el motor de cálculo WolframAlpha dice los siguiente: $$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} (x!) = \Gamma(x+1)\Psi^{(0)}(x+1) $$

Por favor justificar todos los aspectos de esta respuesta.

Answer 1

Derivadas e Integrales sentido sólo por la falta de funciones enteras. Si te gusta una función que "fluye". Si usted quiere encontrar la derivada de la función factorial usted podría considerar la posibilidad de ampliar a los números reales usando la función Gamma. La función gamma actúa como la función factorial para todos los enteros positivos sin embargo también tiene los valores de los números reales.

La función gamma se define como $\displaystyle \Gamma(x+1)=\int_0^\infty t^{x}e^{-t}\mathrm dt$. La función gamma satisface $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$, por tanto, para valores enteros de a $x$ se puede decir que el $\Gamma(x+1)=x!$.

La derivada de la función gamma puede ser expresada en términos de la función Digamma. La Digamma función se define como: $$\psi(x)=\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}$$ Así que la derivada de la función Gamma es $\psi(x)\Gamma(x)$. Ahora puede parecer que estamos dando vueltas en círculo por la definición de esta función especial, sin embargo la función digamma tiene propiedades que son útiles en otros lugares y es una importante función especial. Si usted mira el artículo de la función digamma podrás ver muchas maneras de cómputo y su profunda relación con la armónica de los números de euler-mascheroni constante.

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Para abordar lo que wolfram alpha dijo:

Hay una familia de funciones que se llama la polygamma funciones y son los derivados de la función digamma. Por lo tanto $\psi^{(0)}(x)=\psi(x)$. Recuerde que $x!=\Gamma(x+1)$ por lo tanto $(x!)'=\Gamma'(x+1)=\Gamma(x+1)\psi(x+1)$.

Answer 2

Factorial está definido solo para enteros no negativos. Como tal,$x!$ será una constante y su derivada será$0$. Tal vez,$x$ es una variable aquí tomando valores integrales no negativos?

Answer 3

La función de $x!$ $x$ está definido sólo para números enteros no negativos $x$, por lo que su derivada se define en ninguna parte. Sin embargo, se puede ampliar la función factorial de un modo natural a una función definida por todas partes en $\mathbb{R}$ a excepción de los negativos números enteros impares. Esta función es $\Gamma(x + 1)$ donde $\Gamma$ es la función Gamma. Una manera de definir a través de la fórmula integral

$\Gamma(u) = \int_0^{\infty} t^{u-1} e^{-t} \,dt$;

uno puede comprobar manualmente que está de acuerdo con esto $(u - 1)!$ para enteros positivos $u$ integrando por partes $u - 1$ veces.

Esta función es diferenciable, pero su derivada está dada simplemente en términos de otra función especial, la función digamma, generalmente definida por $\psi := \frac{d}{du} \log \Gamma(u)$, por lo que el $\Gamma' = \Gamma \psi$, que a su vez puede estar dada por diferentes integral de fórmulas.

Answer 4

Problema relacionado: ¿Qué es$\int x! $$ dx$? Ver mi respuesta allí , esa también es una respuesta a esta pregunta con el cambio de integral a derivada.