Una moneda justa es arrojada$n$ veces por dos personas. ¿Cuál es la probabilidad de que obtengan el mismo número de cabezas?

Question

Decir que hemos Tom y Juan, cada uno lanza una moneda no trucada $n$ veces. ¿Cuál es la probabilidad de que se consigue el mismo número de cabezas?

Traté de hacerlo de esta manera: de forma individual, la probabilidad de obtener los $k$ jefes de cada uno es igual a $$\binom{n}{k} \Big(\frac12\Big)^n.$$ So, we can do $$\sum^{n}_{k=0} \left( \binom{n}{k} \Big(\frac12\Big)^n \cdot \binom{n}{k}\Big(\frac12\Big)^n \right)$$ which results into something very ugly. This ugly thing is equal to the 'simple' answer in the back of the book: $\binom{2n}{n}\left(\frac12\right)^{2n},$ pero la igualdad fue verificada por WolframAlpha -- que no es evidente cuando se mira. Así que creo que hay una manera mucho más fácil solucionar esto, alguien puede señalarlo? Gracias.

Answer 1

La probabilidad de que John obtenga jefes de$k$ es igual a la probabilidad de que John obtenga jefes de$n-k$ ya que la moneda es justa.

Entonces, la respuesta a la pregunta original es igual a la probabilidad de que la suma de las cabezas de Tom y John sea$n$.

Esa es la probabilidad de que$n$ se dirija desde$2n$ lanzamientos, que de hecho es$\frac{1}{2^{2n}}{2n \choose n}$.

Answer 2

Como ha notado, la probabilidad es $$ p_n = \ frac {1} {4 ^ n} \ sum_ {k = 0} ^ n \ binom {n} {k} \ binom {n} {k} = \ frac {1} {4 ^ n} \ sum_ {k = 0} ^ n \ binom {n} {k} \ binom {n} {nk} = \ frac {1} {4 ^ n} \ binom {2n} { n} $$ La igualdad del medio usa la simetría de los binomios y utilizó por última vez la identidad de convolución de Vandermonde .