¿Por qué $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_{30}$ isomorfo de $\mathbb{Z}_{60}$ ?

Question

Sé que otros grupos como $\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_5$ son isomorfas a $\mathbb{Z}_{60}$ .

Answer 1

Observe que $\mathbb{Z}_{60}$ es cíclico, mientras que $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_{30}$ no lo es.
Por ejemplo, porque $\gcd(30,2)\neq 1$ .

Answer 2

Sólo hay una no identidad de orden 2 $\overline{30}$ en $\mathbb{Z}_{60}$ mientras que hay más de uno (más exactamente, 3) elementos de orden 2 sin identidad en $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_{30}$ por ejemplo $(\overline{1}, 0)$ y $(0, \overline{15})$ .

Answer 3

En general, $\mathbb{Z}_n \times \mathbb{Z}_m \cong \mathbb{Z}_{nm} \iff \operatorname{gcd}(n, m) = 1$ .

Incluso de forma más general, $\mathbb{Z}_{n_1} \times \mathbb{Z}_{n_2} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{n_k} \cong \mathbb{Z}_{n_1n_2...n_k} \iff \operatorname{gcd}(n_k, n_j) = 1$ siempre que $k \neq j$ .

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Prueba de la primera afirmación:

$\implies$ Demostraremos el contrapositivo: supongamos $d = \gcd(n, m) \neq 1$ . Entonces $x = \displaystyle \frac{mn}{d}$ es un número entero, y en particular $x = \operatorname{lcm}(m, n)$ . Un elemento $(a, b)$ de un producto directo de grupos tiene orden $\operatorname{lcm}(|a|, |b|)$ . Consideremos un elemento $(a, b) \in \mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n$ . El orden de $a$ en $\mathbb{Z}_n$ divide $n$ así como el orden de $b$ divide $m$ . De ello se deduce que el orden de $(a, b)$ divide $x$ . Por lo tanto, cada elemento de $\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n$ tiene un orden que divide $x$ que es estrictamente menor que el orden del grupo. En particular, ningún elemento puede tener orden $mn$ por lo que el grupo no puede ser cíclico.

$\ \ $

$\Longleftarrow \ $ Supongamos $\gcd(n, m) = 1$ . El generador $x$ de $\mathbb{Z}_n$ tiene orden $n$ y del mismo modo el generador $y$ de $\mathbb{Z}_m$ tiene orden $m$ . Tenemos $\operatorname{lcm}(|x|, |y|) = |x| \cdot |y| = mn$ que es el orden de $\mathbb{Z}_n \times \mathbb{Z}_m$ . Por lo tanto, $(x, y)$ genera el grupo, y es cíclico.

$\blacksquare$

La afirmación general se deduce de un argumento inductivo.

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Nota relativa a la prueba anterior: Utilizamos el hecho de que $\displaystyle \operatorname{lcm}(x, y) = \frac{xy}{\gcd(x, y)}$ para todos $ x, y \in \mathbb{N}$ .

Answer 4

$\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_{30}\not\cong\mathbb{Z}_{60}$ porque, por ejemplo, el máximo de pedidos de elementos en $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_{30}$ no superior a 30, mientras que el máximo de elementos ordena en $\mathbb{Z}_{60}$ tiene 60 años. En efecto, dejemos que $(a,b)\in\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_{30}$ . Desde $a\in\mathbb{Z}_2$ entonces $2a=0$ Por lo tanto $30a=15(2a)=0$ . Desde $b\in\mathbb{Z}_{30}$ entonces $30b=0$ . Así que.., $30(a,b)=(30 a,30 b)=0$ Por lo tanto $|(a,b)|\leq 30$ . Desde el otro lado, en $\mathbb{Z}_{60}$ existe un elemento de orden $60$ .

Este es el argumento, mencionado por @mattbiesecker .

Answer 5

Ya se han dado varias respuestas. Otra está aquí: $\mathbb Z_{60}$ contiene un elemento de orden 60 pero $\mathbb Z_2\times \mathbb Z_{30}$ no contiene ningún elemento de orden 60. De hecho, el máximo orden posible de cualquier elemento en $\mathbb Z_2\times \mathbb Z_{30}$ es lcm $(2,30)=30$ .