Editar: *facepalm*
Estoy trabajando a través de los viejos calificar los exámenes, y tengo las dos primeras partes de este problema, pero estoy atascado en la última parte. Aquí está la puesta en marcha:
Deje $X$ ser una variable aleatoria con pdf $f(x)=c(3+x), \text{ if } -3<x<2$ (cero en otro lugar).
La parte no he averiguado es encontrar el casi seguro de límite de $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \mathbf{1}_{\{0\leq X_i \leq 1\}} X_i^3$ donde $\{X_1,\ldots,X_n\}$ es una muestra aleatoria de $X$, e $\mathbf{1}$ es el indicador de la función.
Estoy tratando de hacer uso de $$\sum_{n=1}^{\infty}P\Big(|Y_n-Y|>\epsilon \Big)<\infty \implies Y_n \xrightarrow{\text{a.s.}}Y.$$
Así que (con la esperanza de que converge a cero), por la desigualdad de Markov, escribí $$P\Bigg(\Bigg|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\mathbf{1}_{\{0\leq X_i \leq 1\}} X_i^3\Bigg|>\epsilon \Bigg) \leq \frac{\mathbb{E}\Big[\Big|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\mathbf{1}_{\{0\leq X_i \leq 1\}} X_i^3\Big|\Big]}{\epsilon}.$$ Ahora, yo sé que $\mathbb{E}[\mathbf{1}_A]=P(A)$, y que si $U$ $V$ son independientes, entonces la $\mathbb{E}[UV]=\mathbb{E}[U]\mathbb{E}[V]$, pero no sé si tenemos la independencia aquí (entre los indicadores y los $X_i$'s). Puedo dividir la expectativa plazo en algo fácilmente computable? O, tal vez, es fácilmente computable y no estoy viendo?
