Sobre la derivada a lo largo de las trayectorias de un sistema dinámico

Question

La derivada de Lie de una función $V:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ a lo largo de las trayectorias del sistema dinámico $\dot{x}=f(x)$ con $x\in\mathbb{R}^n$ y $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ se define como [H.K.Khalil, Nonlinear Systems, Prentice Hall editions, 3ª edición, ISBN: 0-13-067389-7, Londres 2002, p.114,509-510]: $$ \dot{V}(x)=\frac{\partial V}{\partial x}\cdot f(x) $$ Utilizando esta fórmula y suponiendo que $V(x)=\frac{1}{2}x'Px$ (con $P$ simétrico) y $f(x)=Ax$ que tenemos: $$ \dot{V}(x)=\frac{\partial V}{\partial x}\cdot f(x)=x'PAx $$ Sin embargo, esto es erróneo. La respuesta correcta sigue esta derivación: $$ \dot{V}(x)=\frac{d}{dt}V(x)=\frac{d}{dt}(x'Px)=\frac{1}{2}(\dot{x}'Px+x'P\dot{x}) $$ sustituimos ahora $\dot{x}=Ax$ para conseguirlo: $$ \dot{V}(x)=\frac{1}{2}x'(A'P+PA)x $$

Así que tengo una serie de preguntas:

1. ¿Qué tiene de malo el primer planteamiento?
2. ¿Por qué no denotamos $\frac{\partial V}{\partial x}$ simplemente como $\frac{dV}{dx}$ desde $V$ es función de una sola variable, a saber $x$ .
3. ¿Para qué sirve la primera fórmula? ¿Un ejemplo?

Answer 1

1. No hay nada malo, ya que las dos respuestas son iguales (tenga en cuenta que $x'A'Px$ es un escalar, por lo que es igual a su propia transposición $(x'A'Px)'=x'P'A''x''=x'PAx$ ).

2. La variable $x$ es un vector $(x_1,\dots,x_n)$ y $\partial V/\partial x$ es el vector de parcial derivadas (es decir, el gradiente de $V$ ), que supongo que es la razón de las "d" curvas. Pero ésta es sólo una de las muchas notaciones para el gradiente. Elige tu favorita ;-)

3. ¿Qué fórmula? La definición de $\dot V$ ? Bueno, por ejemplo, $\dot V=0$ si $V$ es una constante de movimiento. Y quizás quieras leer sobre Funciones de Liapunov también.

Answer 2

De hecho, ambos son correctos, aunque $P$ no es simétrica. Si $x$ es un $n\times 1$ vector columna (que, usando tu álgebra, lo es), entonces el gradiente de $V$ es decir $\frac{\partial V}{\partial x}$ es la derivada de una forma cuadrática,

$$\frac{\partial V }{\partial x}=\frac{1}{2}\frac{\partial xPx}{\partial x}=\frac{1}{2}(P+P^{T})x$$

En el caso especial de que $P$ es simétrico, obviamente se obtiene

$$\frac{\partial V }{\partial x}=Px$$

Observe que $Px$ (en notación matricial) es un $n\times 1$ vector columna. Si $P$ no es simétrica, $(P+P^{T})$ es así. Ahora, la derivada de Lie de la función $V$ con respecto al campo vectorial $f$ viene dado por,

$$\dot V(x)=\frac{\partial V }{\partial x} \cdot f(x)=\frac{1}{2}[(P+P^{T})x]^{T} Ax = \frac{1}{2}x^{T}(P+P^{T})Ax$$

Aparentemente hemos transpuesto $\frac{\partial V}{\partial x}$ en la ecuación anterior porque hemos utilizado matriz y el punteado entre vectores equivale a la multiplicación de matrices, con un vector transpuesto. Obsérvese para la transposición que $P+P^{T}$ es una matriz simétrica, por lo que $P+P^{T}=(P+P^{T})^{T}$ . Ahora bien, si $P$ es simétrico la derivada de Lie es,

$$\dot V(x)=x^{T}PAx$$

Usando tu segunda derivación, la derivada de Lie es,

$$\dot V(x)= \frac{1}{2}x^{T}(A^{T}P+PA)x$$

que también funciona para matrices no simétricas. Quieres demostrar que son iguales. Se toma la diferencia de los dos resultados, es decir

$$\Delta V(x)= \frac{1}{2}x^{T}(P+P^{T})Ax - \frac{1}{2}x^{T}(A^{T}P+PA)x = \frac{1}{2}x^{T}[PA+P^{T}A-A^{T}P-PA]x =$$ $$ =\frac{1}{2}x^{T}[P^{T}A-A^{T}P ]x$$

Para $x=0 \rightarrow \Delta V=0$ . Tomando la derivada respecto a $x$ (observe que $\Delta V$ es una forma cuadrática),

$$\frac{\partial \Delta V(x)}{\partial x}=\frac{1}{2}([P^{T}A-A^{T}P]+[P^{T}A-A^{T}P]|^{T})x$$

algo de álgebra,

$$P^{T}A-A^{T}P+[P^{T}A-A^{T}P]|^{T}=P^{T}A-A^{T}P+[(P^{T}A)^{T}-(A^{T}P)^{T}]=$$ $$=P^{T}A-A^{T}P+[A^{T}T-P^{T}A]=0$$

Así $\Delta V(x)= const=0$ .

Además, respecto a los dels en la derivada $\frac{\partial V(x)}{\partial x}$ , Hans también es correcto, pero en el caso general la derivada de Lie también se define para dos campos vectoriales, que en este caso $\frac{\partial V(x)}{\partial x}$ es la matriz jacobiana del campo vectorial $V$ .