Problema de adición de raíces cuadradas de álgebra$\sqrt {x+15} + \sqrt x = 15$

Question

Vi este problema de álgebra en un anuncio y no recuerdo de inmediato cómo resolverlo:

$\sqrt {x+15} + \sqrt x = 15$

Al menos recuerdo que no se puede simplemente cuadrar todo, es decir, si a + b = c, necesariamente no se sigue que$\ a^2 + b^2 = c^2$.

Por supuesto, sigue que$(\sqrt {x+15} + \sqrt x)^2 = 15^2 = 225$, pero no estoy seguro de si esa es la dirección correcta para entrar, o dónde ir desde allí si es así. No quiero que nadie lo resuelva por mí, pero por favor dame una pista si eres tan amable, ¡gracias!

Answer 1

ps

ps

Answer 2

Let \begin{align} \sqrt {x+15} + \sqrt x &= 15 \\ \sqrt {x+15} - \sqrt x &= y \end {align}

Multiplicando, obtenemos

$(x+15) - x = 15y$

Lo cual simplifica a

ps

Entonces \begin{align} \sqrt {x+15} + \sqrt x &= 15 \\ \sqrt {x+15} - \sqrt x &= 1 \end {align}

Restando, obtenemos

$$ y = 1$

Lo cual simplifica a

x = 49

Answer 3

Dejar $f(x)=\sqrt{x+15}+\sqrt{x}$.

Por lo tanto,$f$ está aumentando la función, lo que significa que nuestra ecuación tiene como máximo una raíz.

Pero es fácil comprobar que ... es una raíz. Por lo tanto, es una raíz única de nuestra ecuación.

Answer 4

La clave aquí es que los dos radicales son de la forma $\sqrt{x+a}$. Si usted tiene $$ \sqrt{x+a}+\sqrt{x+b}=k \etiqueta{1} $$ con $a>b$$k>0$, entonces se puede multiplicar ambos lados por $\sqrt{x+a}-\sqrt{x+b}$, al pasar $$ (x+a)-(x+b)=k(\sqrt{x+a}-\sqrt{x+b}) $$ así $$ \sqrt{x+a}-\sqrt{x+b}=\frac{a-b}{k}\etiqueta{2} $$ Ahora mira en las ecuaciones (1) y (2)...

---

Esto también funciona para las ecuaciones de la forma $$ \sqrt{mx+a}+\sqrt{mx+b}=k $$ o $$ \sqrt{mx+a}-\sqrt{mx+b}=k $$ pero no se si los coeficientes de $x$ son diferentes en los dos radicales. En ese caso, el cuadrado (y esperando lo mejor) es el camino a seguir.

---

Usted también podría plaza: $(\sqrt{x+15}+\sqrt{x})^2=15^2$ $2x+15+2\sqrt{x(x+15)}=225$ y, finalmente, $$ \sqrt{x(x+15)}=105-x $$ Cuadratura de nuevo, $$ x^2+15x=11025-210x+x^2 $$ o $$ 225x=11025 $$ No es una gran cosa, pero los métodos anteriores tiene más pequeñas figuras.