¿Cómo nos ayuda la teoría de campos de clase a deducir la división de ideales primarios no primordiales?

Question

Yo tenía una pregunta general acerca de la importancia de los mundiales de campo de la clase de teoría. Uno de los objetivos, como yo lo entiendo, es responder a la siguiente pregunta:

Dado $L/K$ abelian, $g$ es un divisor de a $[L : K]$, describir todos los números primos $\mathfrak p$ $K$ cuales son unramified en $L$ y se divide en exactamente $g$ números primos.

Al $K = \mathbb{Q}$, puedo ver cómo responder a la pregunta: encontrar un número $m$, divisible sólo por ramificada de los números primos, para que $L \subseteq F :=\mathbb{Q}(\zeta)$ donde $\zeta$ es una primitiva $m$th raíz de la unidad.

A través de la asignación de $x \mapsto (\zeta \mapsto \zeta^x)$, se pueden identificar las $(\mathbb{Z}/m \mathbb{Z})^{\ast}$$Gal(F/\mathbb{Q})$, y por lo tanto identificar a $H = \Gal(F/K)$ como un subgrupo de unidades modulo $m$.

A continuación, una unramified, positiva primer número $p$ se divide en $g$ de los números primos en $K$, si y sólo si $g$ es el número más pequeño para que $p^g \in H$. Obviamente, este tipo de números primos puede ser caracterizada por "congruencia condiciones" modulo $m$.

Del mismo modo, puedo ver que para un director de primer ideal $\pi \mathcal O_K$$K$, $\pi$ "positiva" (en términos de las diversas incrustaciones $K \rightarrow \mathbb{C}$), uno puede incrustar $K$ en un cyclotomic extensión de $K(\zeta)$ y poner congruencia condiciones modulo $m \mathcal O$ cómo $\pi$ se divide.

Pero, ¿qué clase de teoría de campo de decir acerca de la división de un nonprincipal primer ideal? La cosa es, que he oído hablar acerca de cómo podemos utilizar "congruencia condiciones" para caracterizar cómo el primer ideales dividir en abelian extensión, pero lo que no congruencia de las condiciones hasta aquí?

Answer 1

Esta es la razón por la que nos definen a ray grupos de la clase. Yo sigo a la notación de Pete Clark notas.

Deje $\mathfrak{m}$ ser un módulo de $K$ - es decir, el producto formal de un ideal de a $\mathfrak{m}_0$ y algunos colecciones $\infty_1$, $\infty_2$, ..., $\infty_a$ de incrustaciones $K \to \mathbb{R}$. Deje $I(\mathfrak{m})$ ser el grupo de la fracción de los ideales generados por el primer ideales no dividiendo $\mathfrak{m}_0$. Deje $P(\mathfrak{m})$ ser el subgrupo de $I(\mathfrak{m})$ dado por el director de ideal fraccional $(\alpha)$ donde $\alpha \equiv 1 \bmod \mathfrak{m_0}$ e donde: $\infty_j(\alpha)>0$ por cada $j$. Los rayos del grupo de clase $Cl(\mathfrak{m})$$I(\mathfrak{m})/P(\mathfrak{m})$.

Ejemplo 1: Tome $K=\mathbb{Q}$ y el módulo de $m \infty$ donde $\infty$ es el único incrustación $\mathbb{Q} \to \mathbb{R}$. A continuación, $I(m \infty)$ es el subgrupo de $\mathbb{Q}^{\times}/(\pm 1)$ generado por los números primos que son relativamente primos a $m$. El subgrupo $P(m \infty)$ es los números racionales positivos que $1 \bmod m$. El cociente $I(m \infty)/P(m \infty)$$\mathbb{Z}/(m \mathbb{Z})^{\times}$.

Ejemplo 2: Tomar el trivial módulo. A continuación, $I(m)$ es la fracción de grupo ideal y $P(m)$ es el grupo de los principales ideales. El cociente $I(m \infty)/P(m \infty)$ es el grupo de clase.

Ejemplo 3: Deje $K = \mathbb{Q}(\sqrt{3})$ y considerar el módulo de $\infty_1 \infty_2$ donde$\infty_1(a+b \sqrt{3}) = a+b \sqrt{3} \in \mathbb{R}$$\infty_2(a+b \sqrt{3}) = a-b \sqrt{3}$. A continuación, $I(\infty_1 \infty_2)$ es la fracción de grupo ideal. Desde $\mathcal{O}_K$ es un PID, el grupo ideal fraccional es $K^{\times}/\mathcal{O}_K^{\times} = K^{\times} / (\pm (2+\sqrt{3})^{\mathbb{Z}})$. El subgrupo $P(\infty_1 \infty_2)$ elementos de $K^{\times} / (\pm (2+\sqrt{3})^{\mathbb{Z}})$ que tienen un representante de $\alpha$$\infty_1(\alpha)$$\infty_2(\alpha)>0$. Desde todas las unidades de $\mathcal{O}_K$ han norma $1$, también podemos decir que el $P(\infty_1 \infty_2)$ es de los ideales de la $(\alpha)$ donde $N(\alpha)>0$.

El Artin teorema de Reciprocidad en su forma más débil, dice lo siguiente: Para cualquier abelian extensión de $L/K$, hay un módulo de $\mathfrak{m}$ $L$ tal que, para cualquier $\mathfrak{p} \in I(\mathfrak{m})$, la división de $\mathfrak{p}$ $L$ está determinado por su clase modulo $P(\mathfrak{m})$. Volviendo a los ejemplos:

Ejemplo 1 (continuación) Por $p$ un primer de $\mathbb{Z}$$GCD(p,m)=1$, la división de $p$ $\mathbb{Q}(\zeta_m)$ está determinado por $p$ modulo $m$.

Ejemplo 2 la continuación de la Si $H$ es la de Hilbert campo de la clase de $K$, entonces la división de un primer $\mathfrak{p}$ $H$ es determinado por el ideal de la clase de $\mathfrak{p}$. Por ejemplo, la de Hilbert campo de la clase de $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$$\mathbb{Q}(\sqrt{-5}, i)$. Obtenemos que un primer $\mathfrak{p}$ $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ se divide en $\mathbb{Q}(\sqrt{-5}, i)$ si y sólo si $\mathfrak{p}$ es la directora.

Ejemplo 3: continuación de Un primer $(\pi)$ $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ se divide en $\mathbb{Q}(\sqrt{3}, i)$ si y sólo si $N(\pi)>0$.