Definiciones equivalentes de conexión en un campo vectorial

Question

Deje $X$ ser una buena variedad resp. un colector sobre los números complejos. Uno define una conexión en un vector paquete de $V$ $X$ $\mathbb C-$lineal gavilla homomorphism

$\nabla : V\rightarrow V\otimes \Omega^1$

que satisface la regla de Leibniz.

He leído que esto es equivalente a dar para cada campo de vectores $Y\in Der_{\mathbb C}(\mathcal O_X)$ $\mathbb C-$ lineal gavilla homomorphism

$\nabla_Y : V \rightarrow V$

con

(1) la regla de Leibniz

(2) $\nabla_{fY+gZ}=f\nabla_Y+g\nabla_Z$ $f,g \in \mathcal O_X$ $Y,Z$ local de campos vectoriales.

Puedo demostrar que cada conexión en el primer sentido implica una conexión en el segundo sentido. Pero no veo cómo llegar desde el datum de thhe $\nabla_Y$ una conexión en el primer sentido.

Observación: Por un campo de vectores entiendo lineal derivación de la estructura de la gavilla en sí mismo.

Answer 1

Usando el hecho de que$\Omega^1$ es$\mathcal{O}_X$ - localmente libre y dual a la gavilla de campos vectoriales, usted debería poder demostrar$Hom_{\mathcal{O}_X}(\Theta_X,\mathcal{E}nd_\mathbb{C}(V)) = Hom_\mathbb{C}(V,V\otimes_{\mathcal{O}_X} \Omega^1)$. En coordenadas complejas locales$(x_1,\ldots,x_n)$,$\{\nabla_Y\}$ se asigna a$\nabla: V \to V\otimes \Omega^1$ definido por $$ \ nabla (v) = \ sum_ {i = 1} ^ n \ nabla _ {\ partial_i} (v ) \ otimes dx_i $$ (Este es el valor analógico de$df = \sum_i \frac{\partial f}{\partial x_i} dx_i$). La condición (2) garantiza que esta fórmula no dependa de la elección de las coordenadas.