Cada curva en una de Riemann colector de ser interpretado como una geodésica de una métrica determinada?

Question

Dada una métrica $g_{\mu\nu}$ es posible encontrar las ecuaciones de las geodésicas en el colector de Riemann $M$ definido por la métrica en sí:

$$\frac{d^2x^a}{ds^2} + \Gamma^{a}_{bc}\frac{dx^b}{ds}\frac{dx^c}{ds} = 0$$ donde: $$\Gamma^a_{bc} = \frac{1}{2} g^{ad} \left( g_{cd,b} + g_{bd,c} - g_{bc,d} \right)$$ are the Christoffel symbols and $$g_{ab,c} = \frac{\partial {g_{ab}}}{\partial {x^c}}$$ Ahora, dada una ecuación paramétrica de una curva, es posible encontrar la métrica de Riemann colector que da la curva como una geodésica? Si la respuesta es 'Sí', hay un bijective correspondencia entre la curva y la métrica? O hay muchas métricas de dar el mismo geodésica? Gracias de antemano.

Answer 1

No estoy seguro de lo que sucede en general las curvas, pero creo que se puede demostrar la siguiente:

Deje $\gamma:[0,1]\rightarrow M$ ser cualquier inyectiva curva de segmento. Entonces no es una métrica de Riemann para que $\gamma$ es una geodésica. Si en lugar de $\gamma$ es una simple curva cerrada y $\gamma'(0) = \gamma'(1)$, la conclusión se sostiene.

No estoy seguro de lo que sucede en los otros casos.

Aquí está la idea de la prueba en el (un poco más) segundo caso:

Elija un fondo métrica de Riemann de una vez por todas. El paquete normal de $\gamma$ incrusta en $M$ a través de la exponencial mapa (para una adecuada corto de tiempo). Llame a la imagen de esta incrustación $W$. Elegir un conjunto abierto $V$ con la propiedad de que $V\subseteq \overline{V}\subseteq W$ y deje $U = M-\overline{V}$. Observe que $W\cup U = M$, por lo que podemos encontrar la partición de la unidad $\{\lambda_U,\lambda_W\}$ subordinada a $\{U,W\}$.

Ahora, la clasificación de vector de paquetes de más de círculos es fácil: Hay exactamente 2 de cualquier rango - el trivial paquete de rango $k$ y el Möbius bundle + trivial paquete de rango $k-1$. El punto es que estos dos tienen (plana) métricas donde el $0$ ( $\gamma$ ) es una geodésica.

Desde $W$ es diffeomorphic a un vector paquete sobre el círculo, podemos suponer que se tiene una métrica $g_W$ que $\gamma$ es una geodésica. Ahora, elija cualquier métrica de Riemann $g_U$$U$. Por último, definir la métrica $g_M$$M$$\lambda_W g_W + \lambda_U g_U$. Este es un convexo de la suma de las métricas, y por lo tanto es una métrica. Cerca de $\gamma$, $\lambda_U \equiv 0$ y $\lambda_W\equiv 1$, por lo que la métrica cerca de $\gamma$ parece a $g_W$, lo $\gamma$ es una geodésica en $M$.

Answer 2

Espero que si $M$ es un (conectado!) variedad diferenciable y $\gamma_1, \gamma_2: S^1 \rightarrow M$ son dos liso incrustaciones, hay un diffeomorphism $\Phi: M \rightarrow M$ tal que $\gamma_2 = \Phi \circ \gamma_1$. Si es así, esto le da una respuesta positiva a su pregunta restringido suavemente incrustado bucles. Y algo similar debe trabajar para suavizar incrustaciones de $\mathbb{R}$ con el cierre de la imagen.

Añadido: El de arriba no es, ciertamente, de validez general: me parece que se han olvidado de el grupo fundamental. Parece que todavía podría tener una oportunidad para celebrar en el simplemente se conecta caso. (También, en el caso de las superficies, si usted toma una métrica de curvatura constante, me parece recordar que cada homotopy clase tiene una única geodésica representante, por lo que esta obstrucción no es un problema, al menos en ese caso).

En cuanto a la segunda pregunta: por supuesto que van a ser muchas métricas de Riemann que geodésica curvas: el cambio de la métrica en un conjunto abierto acotado de distancia de la línea geodésica duda no va a molestar que la curva de ser una geodésica. En cuanto a los cambios de métrica que preservar todas las geodésicas de las curvas en lugar de sólo un hecho, es una pregunta más interesante, pero al menos se puede uniformemente cambiar la escala de la métrica sin afectar a ninguno de los geodesics.