Una vez pasé demasiado tiempo sin conseguir nada con esto.
¿Hay alguna manera de encontrar las verdaderas raíces de $ax^k-bx^{k-1}+b-a=0$ donde $a, b, k\in \mathbb N$ y $b\gt a$ y $k\gt 1$ ?
Sé que no existe una fórmula general para resolver polinomios de grado superior a 4, pero con tan poco $x$ s pensé que podría ser posible. Tenga en cuenta que $x=1$ es siempre una solución.
Debido a la escasez de $x$ s los puntos estacionarios son fáciles de encontrar, y sé que existe una solución entre $x=\frac{b(k-1)}{ak}$ y $x=\frac{b}{a}$ .
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Examinemos el caso concreto en el que $a = 1,$ $b = 2$ y $n = 6$ es decir, considerar el polinomio $$f(X) = X^6 - 2X^5 + 1.$$
Como usted ha señalado, $1$ es una raíz de $f$ y por lo tanto $X-1$ divide $f$ en $\mathbb{Q}[X].$ De hecho,
$$f(X) = (X -1)(X^5 -X^4 -X^3 -X^2 - X - 1).$$
Así que consideremos el polinomio $$g(X) = X^5 -X^4 -X^3 -X^2 - X - 1.$$ Afirmamos que $g(X)$ no se puede resolver por medio de radicales.
Primero observe que $g(X)$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ ya que es la reducción modulo $5$ es irreducible sobre $\mathbb{F}_5.$
Dejemos que $L$ sea el campo de división de $g$ en $\mathbb{Q}$ y $G = Gal (L/\mathbb{Q}).$ Hay una representación fiel de $G \rightarrow S_5$ dada por la acción de $G$ en las raíces de $g,$ identificar $G$ con su imagen bajo esta representación.
Como $L$ es el campo de división de un polinomio irreducible de quinto grado, tenemos $5| |G|$ . Y así $G$ contiene un elemento de orden $5.$ Como los únicos elementos en $S_5$ de orden $5$ son $5$ cilindros, obtenemos $G$ contiene un $5$ -ciclo.$
Afirmamos que la conjugación compleja restringida a $G$ tiene una descomposición de ciclo igual al producto de dos $2$ -ciclos. Obsérvese que esto equivale a mostrar $g$ tiene una raíz real. Así que mostramos esto último.
Observar
$$f'(X) = 6X^5 - 10X^4 = 2X^4(3X^4-5).$$
tiene $2$ raíces reales. De ello se desprende $f$ tiene como máximo $3$ raíces reales. Así que $g$ tiene como máximo $2$ raíces reales. Como raíces complejas de un polinomio sobre $\mathbb{R}$ vienen necesariamente en pares conjugados y todo polinomio de grado impar sobre $\mathbb{R}$ tiene una raíz real, debe ser el caso que $g$ tiene exactamente una raíz real.
Así que $G$ contiene un ciclo de cinco y un elemento con una descomposición de ciclo igual al producto de dos $2$ -ciclos. De ello se desprende $G$ contiene $A_5$ y $G$ no tiene solución. En consecuencia, $g$ no será solucionable por los radicales.
