Considere la ecuación:$x' = f(t,x)$. Demuestre que hay una correspondencia bidireccional entre la inicial y los límites de las soluciones.

Question

Considere la ecuación:$$x' = f(t,x)$ $ en donde,$$|f(t,x)| \leq \phi(t)x, \forall(t,x) \in \mathbb{R}\times \mathbb{R} $ $$$ \int^{\infty}_a\phi(t)\,dt< \infty$$ where $ a \ in \ mathbb {R} $. Si además,$f$ satisface:$$ |f(t,x) - f(t,y)|\leq \phi(t)|x-y|, \forall(x,y) \in \mathbb{R}\times \mathbb{R}$ $

Demuestre que hay una correspondencia bidireccional entre la inicial y los límites de las soluciones.

Perdón por los errores en la traducción al inglés

Answer 1

La ecuación$|f(t,x)| \leq \phi(t) x$ para todos$(t,x) \in \mathbb{R}^2$ implica que$\phi(t)=0$ para todos$t$ (de hecho solo aplica esta ecuación para$x=-\phi(t)$). Entonces$f(t,x)=0$ siempre y la ecuación diferencial se convierte en$x'(t)=0$, lo que significa$x(t)$ es una constante para todos$t$. Entonces$x(\infty)=x(0)$, que es una correspondencia evidente de 1 a 1.

Por supuesto, esto parece trivial: es probable que haya algunos errores tipográficos en su pregunta que hacen que la pregunta real sea algo diferente de lo que se le da.