$\Delta f$ es el cambio en la función de $f$ que corresponde a $\Delta x$, un cambio en la variable $x$. Por ejemplo supongamos $f=f(x)$ describir la altura, en metros, de un arbolito $x$ meses después de la siembra. Decir $f(0)=4$$f(6)=6$. Sabemos que en $\Delta x = 6-0 = 6$ meses la planta creció un total de $\Delta f = f(6) - f(0) = 6-4 = 2$ pies.
Así que, a continuación, usted podría decir, "es bueno saber eso. Pero, ¿cómo de rápido hizo el arbolito creciendo durante esos 6 meses?" La tasa media de crecimiento es, simplemente, $\frac {\Delta f}{\Delta x} = \frac {2 \text{ feet}}{6 \text{ months}} = \frac 13$ pies por mes. Esta cantidad es lo que la tasa de crecimiento del árbol sería si creció a una tasa constante durante todo el período de 6 meses. Aviso de que esta se calcula exactamente como la pendiente de una línea es de ($m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$) -- que no es una coincidencia. El número de $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ se llama la tasa promedio de cambio de $f$.
Pero, siendo el lector inteligente que sin duda son, usted podría entonces darse cuenta de que el arbolito de mayo no han crecido a una tasa constante. Este promedio de la tasa de cambio no nos dicen nada acerca de lo mucho que el árbol creció en el principio de los 6 meses vs el medio vs el fin de que 6 meses. Tal vez no fue un período de mucha lluvia durante unos días en un punto y quieres saber cómo afectó la tasa de crecimiento. Lo más natural es, entonces, a romper ese total $\Delta x = 6$ en trozos. Tal vez en 1 mes o trozos de 1 semana de fragmentos o incluso 1 día en trozos y, a continuación, usted puede encontrar que la tasa media de crecimiento en cada uno de esos pequeños períodos de tiempo. Que le da más información sobre cómo la tasa de crecimiento cambiado a lo largo del tiempo total del período.
Vemos que los más pequeños "trozos" se rompe el período total de tiempo, el que más información tenemos sobre cómo el arbolito que crece durante ese período de tiempo. Físicamente hablando no es de un menor período de tiempo donde realmente podemos medir con precisión un cambio en el crecimiento del árbol, pero matemáticamente hablando no hay nada que nos impida romper los períodos de tiempo en pequeñas y pequeños fragmentos. Este proceso se llama límite. Podemos definir el límite de una tasa promedio de cambio (si es que existe), como los derivados de $f$: $$\frac {df}{dx} := \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$$ When looking at the above definition remember that $\Delta f$ is a function of $\Delta x$ such that $\Delta f \a 0$ as $\Delta x\to 0$. This quantity $\frac{df}{dx}$ gives the instantaneous rate of change of the function $f$. Básicamente lo que nos dice cómo de rápido el árbol crece , en un instante determinado.
Una cosa a tener en cuenta acerca de la anterior, es que yo no definen $df$$dx$, pero sólo $\frac{df}{dx}$. Eso es porque (al menos en principio cálculo) $df$ $dx$ no son realmente independientes de los objetos. La notación $\frac{df}{dx}$ es sólo la intención de recordar que la derivada de la función se define como un límite de una fracción - , pero eso no significa que $\frac{df}{dx}$ es una fracción propia. No.
Ahora para $\frac{\partial f}{\partial x}$. Considere la posibilidad de una superficie dada por $f(x,y)$. Ahora queremos saber algo acerca de la tasa de cambio de la función $f$ a un particular punto de $(x,y,f(x,y))$. Pero, ¿qué significa para saber la tasa de cambio de una función multivariable? Bueno hay un significado preciso como una transformación lineal multivariable, pero vamos a tomar un enfoque más sencillo. Vamos a encontrar la tasa de cambio de $x$$y$$f$. He aquí cómo.
Cortar la superficie de la $f=f(x,y)$ por un plano que es paralelo al $x$ $z$ direcciones (por lo que será una constante en la $y$ dirección). La intersección de este plano y la superficie será una curva en el plano. Que es, en esencia, de una solavariable de la función. Entonces sabemos cómo tomar la derivada de una única variable de la función en un punto. Este número se llama la derivada parcial de $f$ con respecto al $x$ (en el punto de $(x,y,f(x,y))$) y se denota $\frac{\partial f}{\partial x}$.
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Por supuesto, usted puede hacer lo mismo en el $y$ dirección para conseguir $\frac{\partial f}{\partial y}$. La cosa que hay que notar aquí es que ninguno de los dos (ni, de hecho, ambos) $\frac{\partial f}{\partial x}$ ni $\frac{\partial f}{\partial y}$ dará toda la información acerca de la "tasa de cambio" de $f$. Es por eso que los llamamos parcial derivados.
