Extensión de haces vectoriales en $\mathbb{CP}^1$

Question

Sea $\lambda\in\text{Ext}^1(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(2),\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-2))$ y $E_\lambda$ sea un haz vectorial sobre $\mathbb{CP}^1$ que viene dada por la secuencia exacta \begin{equation}0\to\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-2)\to E_\lambda\to\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(2)\to0,\,\,\,\,(1)\end{equation} y corresponde a $\lambda$ .

Entonces, como se discutió aquí , $E\cong\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(a_\lambda)\oplus\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-a_\lambda)$ para algunos $a_\lambda\in\{0,1,2\}$ .

Para cada $\lambda$ Quiero encontrar el valor explícito de $a_\lambda$ . ¿Alguien puede ayudarme?

He probado la siguiente construcción explícita.

Sea $P=\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-1)^{\oplus4}$ . Existe el mapa suryectivo $P\to\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(2)$ que viene dado por el mapa de evaluación $H^0(\mathbb{P}^1, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(3))\otimes\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}\to\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(3)$ torcido por $-1$ . Sea $F=\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-2)^{\oplus3}$ es el núcleo de este mapa por lo que tenemos la secuencia exacta \begin{equation}0\to F\to P\to\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(2)\to0.\,\,\,\,(2)\end{equation} Tenga en cuenta que $\text{Ext}^1(P,\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-2))=0$ . Así, aplicando $\text{Hom}(-,\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-2))$ a $(2)$ obtenemos el mapa de conexión suryectivo $$\delta:\text{Hom}(F,\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-2))\to\text{Ext}^1(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(2),\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-2)).$$ Ahora a partir de la subjetividad de $\delta$ existe $f\in\text{Hom}(F,\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-2))$ tal que $\delta(f)=\lambda$ y $E_\lambda$ se da como el empuje de $F\to P$ y $F\to\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-2)$ .

No sé cómo calcular $f$ explícitamente para un $\lambda$ y luego cómo calcular el empuje.

¿Quizás exista un enfoque diferente para resolver este problema?

Answer 1

Creo que se puede utilizar la dualidad (Hartshorne, III Thm 7.1),

$$ \mathrm{Ext}^1(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(2),\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-2)) \simeq \mathrm{H}^0(\mathbb{P}^1, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(2))^{\vee} $$

Identifique $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-2) = \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-p -q)$ donde $p$ y $q$ son puntos distintos. Sea $A_{\lambda}$ sea un polinomio cuadrático homogéneo correspondiente a $\lambda$ .

Puede utilizar $p$ , $q$ y $A_{\lambda}$ construir $E_{\lambda}$ .

Si $A_{\lambda}(p)=A_{\lambda}(q)=0$ entonces $a_{\lambda}=0$ .

Si $A_{\lambda}(p)=0 $ y $A_{\lambda}(q)\neq 0$ entonces $a_{\lambda}=1$ .

Si $A_{\lambda}(p\neq 0 $ y $A_{\lambda}(q)\neq 0$ entonces $a_{\lambda}=2$ .

Tenga en cuenta que la elección de $p$ y $q$ es lo mismo que elegir una base para $\mathrm{H}^0(\mathbb{P}^1, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(1))$ que determina una base para $\mathrm{H}^0(\mathbb{P}^1, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(2))$ que hay que fijar para construir un isomorfismo $$ \mathrm{H}^0(\mathbb{P}^1, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(2)) \simeq \mathrm{H}^0(\mathbb{P}^1, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(2))^{\vee} $$