Si$f^*(D)$ es un divisor de Cartier, ¿es$D$ Cartier también?

Question

Permita que$f:X\to Y$ sea un morfismo finito y suprajectivo de variedades algebraicas normales y permita que$D$ sea un divisor de Weil en$Y$. En este caso, uno puede retroceder para obtener un divisor Weil$f^*D$ sobre$X$ asociado a la imagen inversa$f^{-1}(D)$.

Si$f^*(D)$ es Cartier, ¿es$D$ Cartier también?

Answer 1

No. Deje $X = \mathrm{Spec} \ k[x,y]$$Y = \mathrm{Spec} k[u,v,w]/(uw-v^2)$. Deje $f : X \to Y$$(x,y) \mapsto (x^2, xy, y^2)$. Deje $D$ corresponden al ideal de $\langle v,w \rangle$. Entonces es normal que $D$ no es Cartier. Sin embargo, $X$ es un PID, por lo que cada Weil divisor de Cartier en $X$.

Tenga en cuenta que la extracción pack de el ideal de la $D$$\langle xy, y^2 \rangle$$X$, el cual tiene asociado un punto en codimension $2$. Sin embargo, supongo que va a definir tire paquete de divisores de Weil a decir que tenemos que tomar la codimension $1$ componentes de la preimagen.

ACTUALIZACIÓN de La OP aclara que él o ella la intención de imponer ese $f^* \mathcal{O}(D)$ ser localmente principal. En este caso, la respuesta es "sí".

Vamos a convertir al álgebra. $A$ $B$ son normales local de los anillos, con la máxima ideales $\mathfrak{m}_A$$\mathfrak{m}_B$. Disponemos de una inyección de $A \hookrightarrow B$, $B$ finita $A$-álgebra. $I$ es un ideal distinto de cero de a $A$ tal que $BI$ es la directora. Queremos mostrar que $I$ es la directora.

Deje $I$ ser generados por $\langle f_1, \ldots, f_r \rangle$, y deje $BI$ ser generados por $\langle g \rangle$, lo $f_i = g u_i$ algunos $u_i \in B$. Nuestra primera afirmación es que una de las $u_i$ es una unidad. Si no, entonces todos los $f_i$$\mathfrak{m}_B g$$BI \subseteq \mathfrak{m}_B \langle g \rangle = \mathfrak{m}_B I$. Esto contradice Nakayama del lexema.

Por lo tanto, sin pérdida de generalidad, vamos a $u_1$ ser una unidad. Considere la posibilidad de $v_j : =f_j f_1^{-1}$. Claramente, $v_j \in \mathrm{Frac} \ A$. Pero también se $v_j = u_j u_1^{-1}$$B$. Como $A$ es normal y $A \hookrightarrow B$ es finito, esto implica $v_j \in A$. Por lo $f_1$ divide $f_j$ $A$ $I$ es generado por $f_1$ como se desee.