Cualquier prueba elemental de la fórmula del producto de Euler para el seno

Question

¿Hay alguna prueba para la siguiente fórmula de Euler que no utiliza análisis complejos o análisis de Fourier? ps

Supongamos que el alumno estudia "Introducción al análisis real" por Bartle y Sherbert y que acaba de aprender lo que significa la convergencia de un producto infinito. Entonces, ¿hay alguna prueba que sea adecuada para ellos?

Answer 1

Deje $I=[a,b]\subseteq\mathbb{R}$ $\{f_n(x)\}_{n\in\mathbb{N}}$ la secuencia real de los polinomios definidos por: $$ f_n(x) = \prod_{j=0}^{n}\left(1-\frac{4\,x^2}{(2j+1)^2\,\pi^2}\right). $$ Tenemos que la secuencia de $\{f_n(x)\}_{n\in\mathbb{N}}$ es uniformemente convergente a$\cos x$$I$.

A partir de la factorización de polinomios de Chebyshev de la primera y de segunda clase tenemos: $$ \frac{\pecado x}{(2n+1)\,\sin\frac{x}{2n+1}}=\prod_{k=1}^{n}\left(1-\frac{\sin^2\frac{x}{2n+1}}{\sin^2\frac{k\pi}{2n+1}}\right),\qquad \cos x = \prod_{j=0}^{n-1}\left(1-\frac{\sin^2\frac{x}{2n}}{\sin^2\frac{(2j+1)\pi}{4n}}\right),$$ para cualquier número real $x$ cualquier $n\in\mathbb{N}^+$.

Sin pérdida de generalidad podemos suponer $0 < x < m < n $ $m$ $n$ enteros positivos.

Ya que para cualquier $\theta$ en el intervalo de $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ tenemos $\frac{2\theta}{\pi}<\sin\theta<\theta$, se sigue que: $$\begin{eqnarray*}1&>&\prod_{k=m+1}^{n}\left(1-\frac{\sin^2\frac{x}{2n}}{\sin^2\frac{(2k+1)\pi}{4n}}\right)>\prod_{k=m+1}^{n}\left(1-\frac{x^2}{(2k+1)^2}\right)\\&>&1-x^2\!\!\sum_{k=m+1}^{n}\frac{1}{(2k+1)^2}>1-\frac{x^2}{4m},\end{eqnarray*}$$ así que, si tomamos $$ H_m(x) = \prod_{j=0}^{m}\left(1-\frac{\sin^2\frac{x}{2n}}{\sin^2\frac{(2j+1)\pi}{4n}}\right), $$ tenemos que $\cos x$ pertenece al intervalo: $$ \left(\left(1-\frac{x^2}{4m}\right)\,H_m(x),\;\; H_m(x)\right). $$ Dejando $n\to +\infty$ tenemos que $\cos x$ pertenece al intervalo: $$ \left[ \left(1-\frac{x^2}{4m}\right)\prod_{j=0}^{m}\left(1-\frac{4\,x^2}{(2j+1)^2\pi^2}\right),\;\; \prod_{j=0}^{m}\left(1-\frac{4\,x^2}{(2j+1)^2\pi^2}\right)\right], $$ luego, dejando $m\to +\infty$, el pointwise convergencia de la Weierstrass producto para la función coseno está probado. Además, a partir de la última línea se sigue que: $$ \left| f_m(x)-\cos x \right| \leq \left| \cos x \right|\,\frac{4x^2/m}{1-4x^2/m} \leq \frac{4x^2}{m-4x^2}, $$ demostrando convergencia uniforme. A lo largo de la misma línea, también podemos probar la convergencia uniforme a $\sin x$ de la Weierstrass producto para la función seno.