Límite de $(1+1/n)^n$ no es igual a uno, pero ¿por qué?

Question

El hecho de que : $$\lim_{n\to\infty} (1+1/n)^n \ne 1$$ es conterintuitivo para mí.

Por qué no funciona : $\lim_{n\to\infty} 1/n = 0$ entonces por composición : $\lim_{n\to\infty} (1+1/n)^n = 1$ ?

¿Existe una forma de cálculo y una forma intuitiva de entender por qué esto es falso?

Answer 1

Para determinar el límite de una secuencia hay que mirar el todo fórmula, y no sólo un plazo. Por ejemplo, sabes que $1/n$ converge a $0$ para $n\to\infty$ . ¿Significa esto que

$$\lim_{n\to\infty}\left( \frac 1n\cdot a_n\right)=0$$

para todas las demás secuencias $a_n$ ? Quiero decir, multiplicas $a_n$ por algo que es esencialmente igual a cero. Entonces, ¿por qué no $a_n\cdot 1/n\to 0$ ? Tal vez porque $a_n$ crece lo suficientemente rápido como para contrarrestar el factor de desaparición $1/n$ . Por ejemplo, seleccione $a_n=n$ entonces tienes

$$\lim_{n\to\infty}{\frac 1n\cdot n}=\lim_{n\to\infty}1=1.$$

La razón de la secuencia $(1+1/n)^n$ es similar. El término entre paréntesis va a $1$ . Pero el exponente crece lo suficientemente rápido como para contrarrestar este proceso limitador. Es más visible al tomar cualquier logaritmo:

$$\log\left(1+\frac 1n\right)^n=n\cdot \log \left(1+\frac 1n\right).$$

El lado derecho es cero porque el logaritmo de uno es cero. Pero el lado izquierdo crece, y este crecimiento es lo suficientemente rápido como para impedir que el producto llegue a cero. Que esto sea así y a qué equivaldrá en el límite, eso es otra historia. Pero no es obvio (y de hecho es erróneo) que el límite sea $1$ .

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Y cómo saber que podría sea $e$ ? Utiliza la fórmula binomial para ampliar:

$$\left(1+\frac 1n\right)^n=\sum_{k=0}^n{{n\choose k} \frac1{n^k}}=\sum_{k=0}^n\left[{\frac1{k!}\cdot \color{lightgray}{\frac{n!}{(n-k)!n^k}}}\right]$$

Ignorando el término gris se obtiene la representación en serie de $e$ que es esencialmente su definición. Así que la pregunta delicada es: ¿por qué el término gris no marca la diferencia?

Answer 2

Calculus way: Sea $f(x) = (1+\frac{1}{x})^x$ . Tomemos ahora el límite de $\log(f(x))$ como $x \to \infty$ . Obtenemos

$$ \lim_{x \to \infty} x\log(1+\frac{1}{x}) = \lim_{x\to \infty} \frac{\log(1+ \frac{1}{x})}{1/x}.$$

Obsérvese que tanto el numerador como el denominador van a $0$ como $x$ va a inifinidad. Por la regla de L'Hopital, este límite es igual a

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{-1/x^2}{1 + \frac{1}{x}}}{-1/x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1+ \frac{1}{x}} = 1.$$

Desde $\lim_{x \to \infty} \log(f(x) = 1$ se deduce que $\lim_{x \to \infty} f(x) = e$ .

De forma intuitiva: Enchufe los valores Observa que convergen a $e$ :

$f(1) = 2$

$f(2) = 2.25$

$f(3) = 2.37037...$

$f(4) = 2.44140625$

$f(5) = 2.48832$

Segunda forma intuitiva: "Multiplícalo". Por el Teorema Binomial,

$$ (1 + \frac{1}{n})^n = 1^n + \binom{n}{1} 1^{n-1} \frac{1}{n} + \binom{n}{2} 1^{n-2} \frac{1}{n^2} + \cdots + \frac{1}{n^n}$$

En particular, basta con observar los dos primeros términos para obtener la aproximación

$$ (1 + \frac{1}{n})^n \geq 1^n + \binom{n}{1} 1^{n-1} \frac{1}{n} = 2$$

Así que el límite no puede ser igual a $1$ . De hecho, parece ser igual a algún número extraño que es ligeramente mayor que $2$ ...me pregunto qué puede ser. ;)

(En general, la desigualdad $(1+x)^n \geq 1 + nx$ se denomina desigualdad de Bernoulli).

Answer 3

La cuestión es que no podemos componer $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(1+\dfrac 1n\right)^n = 1$ de $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac1n = 0$ . A ver qué pasa:

$$\lim_{n\to\infty} \dfrac1n = 0$$

$$1 + \lim_{n\to\infty} \dfrac1n = 1$$

$$\lim_{n\to\infty}1 + \lim_{n\to\infty} \dfrac1n = 1$$

$$\lim_{n\to\infty}\left( 1+\dfrac1n \right) = 1$$

$$\left[\lim_{n\to\infty}\left( 1+\dfrac1n \right)\right]^{\color{red}{n}} = 1^{{\color{red}{n}}}$$

Ahora bien, si miras con atención en tu libro las normas de composición de límites, no hay ninguna norma que nos permita llevar el rojo $\color{red}{n}$ como exponente dentro del límite.

Answer 4

Es una buena pregunta porque parece ser que esto es una violación de "el límite de un producto es el producto de los límites". Usted está viendo esto como $$(1+ \frac{1}{x})\cdot (1+ \frac{1}{x}) \cdots$$ Pero ésta no es una aplicación correcta del teorema. El teorema se aplica al caso binario de $f(x)\cdot g(x)$ que se puede componer cualquier número finito de veces para reducir un límite de productos finitos a un producto finito de límites (si esos límites existen).

Es decir, el límite por el que preguntas no es lo mismo que su deseo de interpretarlo como $$\lim_{m\rightarrow \infty} (\lim_{n\rightarrow \infty} (1+\frac{1}{n})^m)$$

Si revisas los teoremas de cualquier texto que tengas, notarás que puedes "moverte dentro de un exponente" con límites sólo cuando el exponente es fijo, por ejemplo

$$\lim_{x\rightarrow a} x^{n} = (\lim_{x\rightarrow a}x)^n$$

Esto se debe a los criterios necesarios para evaluar la composición de las funciones. Supongamos que tenemos funciones $f$ y $g$ y deseamos evaluar un límite $\lim_{x\rightarrow a}f(g(x))$ . Podemos realizar la evaluación y sustitución habituales siempre que

• $\lim_{x\rightarrow a} g(x)$ existe y diremos es $b$
• $f(b)$ existe
• $\lim_{x\rightarrow b} f(x)$ existe
• $\lim_{x\rightarrow b} = f(b)$

Si estos se aplican, entonces usted puede utilizar su idea intuitiva de la aplicación de límites.

En el caso de $\lim_{n\rightarrow \infty}(1 + \frac{1}{n})^n$ si intenta aplicar tales sustituciones, se dará cuenta de que no puede hacer otra cosa que replantear el límite. Por ejemplo, si $g(n)=1+\frac{1}{n}$ entonces $f(n)=n^{\frac{1}{n-1}}$ que no es más simple que nuestro límite original. Puede intentar la composición con $g(n) = \frac{1}{n}$ dar $f(n) = (1+n)^{\frac{1}{n}}$ que tampoco es mejor. Este límite tiene, por acuñar una frase, una composición inamovible. Así que si el límite existe, debe ser encontrado de alguna otra manera.

Answer 5

Tu argumento en esencia es "separar" los dos usos del $n$ s y tomar sus límites uno tras otro. En esencia, usted está haciendo esto:

$\lim_n (1 + \frac 1n)^n =$

$\lim_k \{\lim_m (1+ \frac 1m)\}^k =$

$\lim_k 1^k = 1$

que es tan lógico como hacer:

$\lim_n (1 + \frac 1n)^n =$

$\lim_v \lim_j f(v)^j;f(v) = 1+ \frac 1v > 1$

$\lim_v \infty = \infty$

La respuesta sencilla es que ambas son erróneas porque $n$ no son dos variables separadas. Es una sola.

U otra forma de decirlo es que como el $\frac 1n$ pasa por $\frac 12, \frac 1/256, \frac 1/1149, etc.$ al mismo tiempo, entonces $stuff^n$ se también pasar por $2, 256, 1149, etc$ desviando los valores.

....

Entonces, ¿cómo do pensamos en $\lim_n (1 + \frac 1n)^n$ ?

Bueno, seré sincero y diré que viéndolo no tendría ni idea. Pero si puedo demostrar 1) que está aumentando; es decir $(1 + \frac 1n)^n < (1 + \frac 1{n+1})^{n+1}$ para todo natural $n$ y que 2) está acotada por arriba; es decir $(1 + \frac 1n)^n \le k$ para algunos $k$ entonces sé por el teorema de la cota mínima superior que $\lim_n(1 + \frac 1n)^n = e$ por algún valor que llamaré $e$ .

Resulta que $e$ realmente no tiene una expresión particular en términos de otros valores conocidos.