¿Cuándo una superficie algebraica proyectiva tiene un grupo de automorfismo infinito? ¿Hay un criterio simple, o al menos una condición suficiente?
Respuesta
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Bien, vamos a empezar con un bebé de caso. Considere la posibilidad de un proyectiva suave curva de $C$ más de una algebraicamente cerrado campo de $K$. Deje $T_C$ ser la tangente paquete en la $C$. Los siguientes hechos son bien conocidos.
Si $C=\mathbb P^1$, $\mathrm{Aut}(C)=\mathrm{PGL}(2,K)$ algebraica de grupo de dimensión $3$. Por otro lado, $\dim_K H^0(C, T_C)=3$.
Si $C$ género $1$, $\mathrm{Aut}(C)$ algebraica de grupo cuyo componente conectado es $C$ (una vez que el origen es el elegido), por lo tanto, tiene la dimensión de $1$. En el otro lado, $\dim_K H^0(C, T_C)=\dim_K H^0(C, O_C)=1$ ($T_C\cong O_C$ en este caso).
Si $C$ género $g\ge 2$, $\mathrm{Aut}(C)$ es un número finito (algebraica) de grupo, por lo tanto, tiene la dimensión de $0$. Por otro lado $\dim_K H^0(C, T_C)=0$ porque $\deg T_C=2-2g <0$.
En la mayor dimensión de la imagen es un poco más complicado. Deje $X$ ser una variedad proyectiva sobre $K$. El grupo $\mathrm{Aut}(X)$ es los puntos de un esquema de grupo sobre $K$. Prueba de ello es el uso de Hibert esquemas y mediante la visualización de un automorphism cerrado subscheme de $X\times X$ a través de su gráfica. Ver, por ejemplo, el excelente libro de Kollár, "Racional curvas algebraicas variedades", I. 2.10. El esquema de grupo es localmente finito de tipo y el espacio de la tangente en el origen tiene dimensión $\dim_K H^0(X, T_X)$ (Prueba I. 2.16.4, el uso de Thm I. 2.16).
1ª conclusión: si $K$ tiene características de las $0$, como en cualquier esquema de grupo localmente finitos tipo es automáticamente suave, la dimensión de la $\mathrm{Aut}(X)$$\dim_K H^0(X, T_X)$. En característica positiva, el primero está delimitada por el último.
En el carácter $0$, para el grupo de automorfismos de ser finito, $H^0(X, T_X)$ debe desaparecer. El recíproco no es cierto, porque la $\mathrm{Aut}(X)$ puede ser un discreto infinito de grupo.
Por supuesto, esto no es muy satisfactoria respuesta a su pregunta. Pero:
- Si $X$ es de tipo general (curvas de tipo general son los de género $\ge 2$), $\mathrm{Aut}(X)$ es siempre finito. Este es el resultado de un teorema de Kobayashi-Ochiai en característica cero (generalizada por Deschamps-Ménégaux en características positivas). Este teorema es una generalización a dimensiones más altas de de Franchis teorema de morfismos de curvas.
Hay un montón de trabajo ( $\mathbb C$ ) sobre la cota de la orden de $\mathrm{Aut}(X)$ al $X$ es de tipo general. Pero esto es otra historia.
