No hay tal poliedro regular cuyo volumen es igual a la diferencia entre los volúmenes de su circumsphere y su insphere

Question

Basado en mis dos preguntas anteriores (aquí y aquí) he encontrado es seguro suponer que:

No hay tal poliedros regulares cuyo volumen es igual a la diferencia entre los volúmenes de su circumsphere y su insphere.

Esto ya debería ser bastante sencillo para demostrar (o refutar), ya que hay sólo $5$ poliedros regulares. He comprobado yo mismo para el cubo, pero los demás parecen ser un poco demasiado desalentador, especialmente el icosaedro y el dodecaedro. Supongo que el inspheres y circumspheres de la $5$ sólidos platónicos son esferas concéntricas y fue así para el cubo, sino que es como lo que he sido capaz de ir. Mi poder imaginativo son increíblemente débiles y probablemente me bofetada de mi cabeza de una vez he visto cómo las partes de la prueba que implican el icosaedro y el dodecaedro está hecho.

Por el camino, es necesario para tratar todos los $5$ sólidos platónicos, o puede ser demostrado por mostrar que el $n$ (denotando el número de aristas) necesarios para que esto sea cierto no es un entero positivo? Gracias de antemano!

Bonus: estoy casi seguro de que uno o el otro irregular de los poliedros de no obedecer esta conjetura (perdón por mi terminología si es malo). Puede alguien encontrar (al menos) uno de estos poliedro?

Reglas:
$(1)$ El circumsphere debe pasar a través de todos los vértices del poliedro.
$(2)$ El insphere debe ser tangente a todas las caras del poliedro.
$(3)$ El poliedro puede no ser un poliedro esférico.

Yo personalmente creo que una pirámide truncada será suficiente con facilidad. ¿Alguien puede encontrar otros ejemplos de lo contrario? Buena suerte!

Answer 1

Los cocientes de la longitud de los datos de distancia y la descripción de todos los tipos de poliedros regulares, incl. el de Arquímedes, etc., son números algebraicos. De ello se deduce que el volumen de un poliedro es una expresión algebraica de varios de $\rho^3$ donde $\rho$ denota la inradius de $P$. Del mismo modo el circunradio $R$ $P$ algebraica de varios de $\rho$. Pero la diferencia entre los volúmenes de la circumsphere y la insphere de $P$ está dado por $${4\pi\over3}(R^3-\rho^3)=\pi\>\lambda \rho^3$$ con $\lambda$ algebraicas, y no es de este tipo.

Answer 2

No tan elegante como respuesta de Christian Blatter, pero aquí es un código de Mathematica para comparar los valores dados en la tabla de wikipedia.

comp[r_, V_, R_] := N@{4/3*Pi*R^3 - 4/3*Pi*r^3, V}
comp[1/Sqrt[6], Sqrt[8]/3, Sqrt[3/2]]
comp[1, 8, Sqrt[3]]
comp[Sqrt[2/3], Sqrt[128]/3, Sqrt[2]]
comp[phi^2/xi, 20 phi^3/xi^2, Sqrt[3]*phi]
comp[phi^2/Sqrt[3], 20 phi^2/3, xi*phi]

{7.41029, 0.942809}
{17.5768, 8.}
{9.5676, 3.77124}
{45.9338, 61.305}
{14.3614, 17.4536}

Tres los primeros tienen un volumen menor que la diferencia entre los volúmenes de circum - y en-esferas, y es a la inversa para dos los últimos.