Pregunta: Demostrar que $\displaystyle \sum_{d|n} \tau ^3 (d) = \left( \sum _{d |n} \tau (d) \right)^2$. (Sugerencia: en Primer lugar, muestran que ambos lados son multiplicativos funciones.) [$\tau$ es el número de divisores positivos de la entrada.]
Intento:
LHS: $\tau$ multiplicativo $\implies$ $\tau ^3$ multiplicativo $\implies$ $\displaystyle \sum_{d|n} \tau ^3 (d)$ multiplicativas.
RHS: $\tau$ multiplicativo $\implies$ $\displaystyle \sum_{d|n} \tau (d)$ multiplicativo $\implies$ $\left( \sum _{d |n} \tau (d) \right)^2$ multiplicativas.
Aquí es donde no sé cómo proceder. Creo que es suficiente para mostrar que $\displaystyle \sum_{d|p^e} \tau ^3 (d) = \left( \sum _{d |p^e} \tau (d) \right)^2$. Es este el derecho de paso? Si es así, ¿cómo puedo continuar con esto?
EDIT: he tratado de continuar el problema con los Tiburones de la sugerencia. Voy a publicar a continuación:
Tenga en cuenta que$\tau (p^k) = k+1$$\tau ^3 (p^k) = (k+1)^3$.
Basta sólo para demostrar la identidad de $n=p^k$ una fuente primaria de energía.
$$\left(\sum_{d\mid p^k}\tau(d)\right)^2=\left(\sum_{j=0}^k\tau(p^j)\right)^2=\left(\sum_{j=0}^k(j+1)\right)^2$$
$$\sum_{d\mid p^k}\tau(d)^3=\sum_{j=0}^k\tau(p^j)^3=\sum_{j=0}^k(j+1)^3$$.
Después de algunos álgebra, $\text{LHS} = \frac{1}{4}(k^4 + 6k^3 + 13k^2 + 12k + 4) = \frac{1}{4}(k^4 + 6k^3 + 13k^2 + 12k + 4) = \text{ RHS}$, lo que termina la prueba.
Algunas de las propiedades que involucran $\tau :$
$\displaystyle \tau (n) = \sum_{d|n} 1$.
$\tau (p^e) = e+1$.
$\tau$ es multiplicativo.
Si $f$ es multiplicativo, a continuación,$\displaystyle F(n) = \sum_{d|n} f(d)$.
Si $f$ es multiplicativo y $n = p_1^{e_1} \cdots p_r^{e_r} $ $f(n) = f(p_1^{e_1} \cdots p_r^{e_r}) = f(p_1^{e_1})\cdots f(p_r^{e_r})$
