Confusión sobre el límite del registro

Question

Tengo una pregunta muy elemental pero no veo dónde está mi error.

Supongamos que tenemos una secuencia $(x_n)$ con $\lim_{n\to\infty}x_n=1$ . Además, supongamos que la secuencia $({x_n}^c)$ para alguna constante $c>1$ tiene límite $\lim_{n\to\infty}{x_{n}}^c=c$ .

Entonces $$ \lim_{n\to\infty}\log({x_n}^c)=\log(c). $$

Pero como $\log({x_n}^c)=c\log(x_n)$ También tengo

$$ \lim_{n\to\infty}\log({x_n}^c)=c\lim_{n\to\infty}\log(x_n)=0. $$

¿Dónde está mi error? Tal vez en los supuestos de las secuencias.

Answer 1

Si $x_n\rightarrow 1$ La única manera de conseguir $x_n^c\rightarrow c$ es si $c=1$ . No hay ningún otro exponente $c$ que hace que esto funcione.

Después de todo, si $x_n\rightarrow 1$ entonces $x_n^c \rightarrow 1^c = 1$ también, por continuidad (véase más adelante). Pero entonces, si $1=\lim_{n\rightarrow\infty}x_n^c = c$ , entonces necesariamente $c=1$ .

Así que no puedes tener simultáneamente $c>1$ y $x_n^c \rightarrow c$ porque ésta es una contradicción; cualquier cosa que se derive de ella puede ser también una contradicción. En particular, por continuidad, $\lim_{n\rightarrow \infty}\log(x_n^c) = c \log(1) = 0$ siempre. Pero si asumimos $\lim_{n\rightarrow\infty} x_n^c = c$ y $c>1$ encontramos que en su lugar $\lim_{n\rightarrow \infty}\log(x_n^c) = \log(c) > \log(1) = 0$ - una contradicción.

Asumimos algo que no puede suceder, y obtuvimos una contradicción como resultado.

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• En primer lugar, hay que tener en cuenta que si $h$ es cualquier función continua, entonces $$\lim_{n\rightarrow \infty }h\left(x_n\right) = h\left(\lim_{n\rightarrow \infty }x_n\right)$$

• A continuación, dejemos que $f$ sea la función $f(x) = x^c$ , dejemos que $g(x)=\log(x)$ y supongamos que $x_n$ es una secuencia tal que $x_n \rightarrow 1$ .

• Porque $f$ y $g$ son continuos, sabemos que : $$\lim_{n\rightarrow \infty} \log(x^c) = \lim_{n\rightarrow \infty} g(f(x_n)) = g\left(f\left(\lim_{n\rightarrow \infty} x_n\right)\right) = g(f(1)) = \log(1^c) = \log(1) = 0$$

• Debido a la propiedad de los troncos, sabemos que: $$\lim_{n\rightarrow \infty} \log(x^c) = \lim_{n\rightarrow \infty} c\log(x_n) = c\lim_{n\rightarrow \infty}\log(x_n) = c \lim_{n\rightarrow \infty}g(x_n) = c \cdot g\left(\lim_{n\rightarrow \infty}x_n\right) = c\cdot g(1) = c\cdot \log(1) = c\cdot 0 = 0$$

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Dando un paso atrás, tenemos que $x_n\rightarrow 1$ y por la continuidad, $x_n^c \rightarrow 1$ también. De ahí que $\log(x_n)$ y $\log(x_n^c)$ ambos van a 0 como $n\rightarrow \infty$ .

Answer 2

Si $\lim\limits_{n\,\to\,\infty} x_n =1$ entonces $\lim\limits_{n\,\to\,\infty} x_n^c = 1.$ \begin{align} \lim_{n\,\to\,\infty} (x_n^c) & = \left( \lim_{n\,\to\,\infty} x_n \right)^c & & \text{because } x \mapsto x^c \text{ is a continuous function} \\[10pt] & = 1^c = 1. \end{align}