Cambio de módulo en la aritmética modular

Question

¿Es cierto que $$a \equiv b \pmod {m} \implies\frac {a}{n} \equiv\frac {b}{n} \pmod { \frac {m}{n}},$$ donde $a, b, m, n, \frac {a}{n}, \frac {b}{n}, \frac {m}{n} \in\mathbb {N}$ ? Si es así, ¿cómo lo pruebo?

Answer 1

Si $a\equiv b \pmod{m}$ entonces hay $q\in\mathbb{Z}$ tal que $a=b+qm$ lo que implica que, para $n\not=0$ , $$\frac{a}{n}=\frac{b}{n}+q\frac{m}{n}.$$ Así, cuando $\frac{a}{n},\frac{b}{n},\frac{m}{n}\in\mathbb{Z}$ podemos concluir que $\frac{a}{n}\equiv\frac{b}{n}\pmod{\frac{m}{n}}$ .

Answer 2

$$a\equiv b\pmod m$$ significa $$\frac{a-b}m\in\Bbb Z.$$ $$\frac{a}n\equiv \frac bn\pmod{\frac mn}$$ significa $$\frac{a/n-b/n}{m/n}\in\Bbb Z.$$

Answer 3

De la definición de módulo:

$$a \equiv b \pmod m \implies a=km+b \tag{1}$$ $$\frac{a}{n} \equiv {\frac{b}{n}} \pmod {\frac{m}{n}} \implies \frac{a}{n}=k \frac{m}{n} + \frac{b}{n} \tag{2}$$

Observar $(2)$ .

\begin{align} \frac{a}{n}&=k \frac{m}{n} + \frac{b}{n} \tag {2} \\ \frac{a}{n} \cdot n&=k \frac{m}{n} \cdot n + \frac{b}{n} \cdot n \\ a & = km+b \tag{1} \end{align}

Al multiplicar $(2)$ por $n$ obtenemos $(1)$ por lo que las expresiones son las mismas. Por lo tanto, $a \equiv b \pmod m \implies \frac{a}{n} \equiv \frac{b}{n} \pmod{ \frac{m}{n}}$