¿Los postulados de Peano es categórica si tienen modelos no estándares?

Question

Haber acabo de leer Noé Schweber excelente respuesta a esta pregunta, yo me acordé de algo que siempre ha intrigado a mí. Me enseñaron que los Postulados de Peano son categóricos (es decir, cualquiera de los dos modelos son isomorfos), un hecho que parece intuitivamente obvio. Así que, ¿cómo puede haber modelos no estándar? En particular, si tengo algunos incontable no estándar del modelo de PA, ¿por qué no puedo elegir algún elemento $s$, y considerar los elementos$$s, s+s, s+s+s, ...$$ to get a countable model inside the given model, just as I would construct the even positive integers inside the natural numbers by taking $s=2$? Seguramente los innumerables modelo y el modelo contable no son isomorfos, son ellos?

Entiendo cómo el teorema de compacidad muestra la existencia de modelos no estándar, y no tengo ningún problema con eso. Yo lo que no entiendo es cómo conciliar esto con categoricity.

Answer 1

Hay dos versiones diferentes de "la aritmética de Peano": una de primer orden y de segundo orden de la versión. El segundo orden de la versión tiene como inducción del axioma de la declaración de que para cualquier subconjunto $S$ de la estructura, si $0\in S$ $x+1\in S$ todos los $x\in S$, $S$ es toda la estructura. El primer orden es la versión más débil de la inducción axioma: sólo se aplica a los subconjuntos $S$ que son definibles en la lógica de primer orden (es decir, subconjuntos, que puede ser descrito como el conjunto de elementos de la estructura que hacen que algunos de primer orden de la fórmula verdadera). El primer orden de versión es generalmente mucho más interesante desde la perspectiva de la lógica y es lo que "la aritmética de Peano" normalmente se refiere, ya que puede ser formulado como una de primer orden de la teoría.

El segundo orden de la versión de la aritmética de Peano es categórica, pero el primer orden de versión no es. La respuesta que enlaza con está hablando acerca de la de primer orden de la versión, no la de segundo orden de la versión.

Answer 2

La forma en que obtenemos categoricity en el segundo orden axiomas de Peano no es sólo acerca de los axiomas - que es también la forma de interpretarlos. Tenemos que estar hablando acerca de la "segunda orden axiomas de Peano", en lugar de primer orden de la aritmética de Peano, para el resto de esta respuesta.

Hay dos maneras diferentes para tratar la semántica de segundo orden de la aritmética de Peano. Son conocidos como "estándar de la semántica" y "la semántica de Henkin".

En el estándar de la semántica, cada modelo puede tener su propio conjunto de "números naturales" $\mathbb{N}$, y, a continuación, interpretamos los cuantificadores a través de subconjuntos de a $\mathbb{N}$ como la cuantificación de las más de todos los subconjuntos de un conjunto de números en el modelo.

En la semántica de Henkin, permitimos que cada modelo tiene una serie de "números" $\mathbb{N}$ y un conjunto de "conjuntos de números", y podemos interpretar un cuantificador a través de subconjuntos de a $\mathbb{N}$ como sólo la cuantificación sobre la colección de "conjuntos de números" que se encuentra en el modelo. Así estándar de la semántica es la misma que la semántica de Henkin con la restricción adicional de que solo tenemos en cuenta los modelos en la colección de subconjuntos de a $\mathbb{N}$ es todo el powerset del conjunto de los naturales de $\mathbb{N}$ de la modelo.

Dado cualquier conjunto de (posiblemente de segundo orden axiomas) para la aritmética, podemos elegir cualquiera de estos semántica. De cualquier manera, el conjunto de las probables consecuencias de los axiomas es exactamente el mismo. La única diferencia es que en los modelos que tenemos en cuenta.

Dada esta configuración, podemos comprobar que la segunda orden de la aritmética de Peano con el estándar de la semántica es categórica, mientras que el segundo-el fin de la aritmética de Peano con la semántica de Henkin no lo es.

El punto clave aquí es que no es la teoría que es categórico - es la combinación de la teoría y de la colección de modelos que consideramos que se combinan para hacer de la teoría categórica. Si consideramos una pequeña colección de modelos, es más fácil para la misma teoría para ser categórica.

Cuando se utilizan métodos tales como la compacidad o la integridad teorema, que la generación de modelos en el sentido de la semántica de Henkin que no pueden ser modelos en el estándar de la semántica. Ese hecho se explica cómo el categoricity de segundo orden PA en el estándar de la semántica puede ser reconciliado con el teorema de compacidad estándar de la semántica puede ignorar muchas interpretaciones posibles de un conjunto de axiomas.