Si $\sum\limits_{i=1}^na_i=\prod\limits_{i=1}^na_i$ $n$, por cada ciento identifica $\lim\limits_{n\to \infty}a_n$

Question

Que $\left(a_n\right)_{n \in\mathbb{N}} $ denotar una secuencia de números reales tales que, para cada $n\geqslant1$, $$\sum_{i=1}^na_i=\prod_{i=1}^na_i$$ Identify the limit $% $ $\lim_{n\to \infty}a_n$

Lo que he hecho: $$a_1-a_1=0 \\a_1+a_2-(a_1a_2)=0 \to a_1\cdot a_2(\dfrac{a_1}{a_2}+\dfrac{a_2}{a_1}-1)=0\\.\\.\\.\\a_1\cdot a_2\cdot \cdot \cdot a_n(\dfrac{a_1}{a_2\cdot \cdot \cdot a_n}+\dfrac{a_2}{a_1\cdot \cdot \cdot a_n}+...+\dfrac{a_n}{a_2\cdot \cdot \cdot a_{n-1}}-1)=0$ $ ¿Qué debo hacer?

Answer 1

La respuesta es: si $a_1 > 1$, entonces el límite es 1; si $a_1 < 1$, entonces el límite es 0; y no hay secuencia con $a_1 = 1$.

En primer lugar, observe que si dejamos $S_n = \sum_{k=1}^n a_k$, luego $$S_n + a_{n+1} = \left( \sum_{k=1}^n a_k \right) + a_{n+1} = \sum_{k=1}^{n+1} a_k = \prod_{k=1}^{n+1} a_k = \left( \prod_{k=1}^n a_k \right) a_{n+1} = S_n a_{n+1}.$$ La solución de $S_n + a_{n+1} = S_n a_{n+1}$ $a_{n+1}$ da $a_{n+1} = \frac{S_n}{S_n - 1}$ (y también implica que $a_1 = S_1 \ne 1$).

Ahora, para el primer caso, supongamos $a_1 > 1$. A continuación,$a_{n+1} = \frac{S_n}{S_n - 1}$, por inducción, se puede concluir que el $a_n > 1$ $S_n > 1$ por cada $n$. Por lo tanto, $S_n = \sum_{k=1}^n a_k > n$, y por lo $a_{n+1} = 1 + \frac{1}{S_n - 1} < 1 + \frac{1}{n-1}$$n > 1$. Por el teorema del encaje, se puede concluir,$a_n \to 1$$n \to \infty$.

De lo contrario, supongamos $a_1 < 1$. A continuación, llegamos $S_{n+1} = S_n + \frac{S_n}{S_n - 1} = \frac{S_n^2}{S_n - 1}$. Ahora podemos concluir que la inducción por que $S_n \le 0$$n \ge 2$, e $S_n$ es no decreciente para $n \ge 3$ desde $a_n = \frac{S_{n-1}}{S_{n-1}-1} \ge 0$. De ello se desprende que $S_n$ debe tener algún límite de $L \le 0$, que luego debe satisfacer $L = \frac{L^2}{L-1}$. Esto obliga a $L = 0$, lo $a_n = S_n - S_{n-1} \to 0 - 0 = 0$$n \to \infty$.