Función de cero implica cero polinómico.

Question

Estoy tratando de ayudar a alguien con un problema en el Apostol del libro (Capítulo 1 BTW, así que antes de que, básicamente, cualquier cálculo conceptos están cubiertos) en el momento y estoy perplejo en una pregunta.

Estoy tratando de demostrar que si $p$ es un polinomio de grado $n$, que es donde $$p(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n$$ para algunos números reales $a_0, \dots, a_n$, y si $p(x) = 0$ todos los $x\in \Bbb R$, $a_k = 0$ todos los $k$.

Mirando a través de el sitio, me encuentro a esta pregunta, pero la solución que se dé utiliza la derivada. Pero este antes de la definición de la derivada en Apostol del libro, así que no puedo usar eso para probar esto. También sé que podemos utilizar álgebra lineal para resolver esto, pero pretender que no entiendo el concepto de independencia lineal, ya sea como Apostol del libro no presupone que. Entonces, ¿qué podemos hacer para demostrarlo? Se siente como debería ser una prueba por inducción es posible, pero yo no estoy viendo cómo hacer el paso de inducción.

Mi Intento: Demostrando que $a_0 = 0$ es trivial mediante la evaluación de las $p(0)$. Pero entonces me queda $$p(x) = x(a_1 + \cdots +a_nx^{n-1})$$ Aquí veo que para todos los $x\ne 0$, $a_1 + \cdots a_nx^{n-1}=0$. Pero debido a que $x\ne 0$ parte, que significa que no puede utilizar el mismo truco para mostrar que $a_1 = 0$.

Alguna idea?

Answer 1

El polinomio $a_1 + a_2x + \cdots + a_nx^{n-1}$ que ha encontrado la raíz de $x=1$ y por lo tanto, por el teorema de factor, tiene un factor de $x-1$. Así $$p(x) = x(x-1)(b_0 + b_1x + \cdots + b_{n-2}x^{n-2})$$ for some $b_0, \dots , b_{n-2}$. Pero porque $$a_1 + \cdots + a_nx^{n-1} = (x-1)(b_0 + b_1x + \cdots + b_{n-2}x^{n-2}) = 0$$ for all $x\ne 0$, and $x-1=0$ only for $x=1$, this shows us that $b_0 + \cdots + b_{n-2}x^{n-2}$ is zero for all $x\ne 0, 1$. In particular, it is zero at $x=2$. Por lo tanto $$p(x) = x(x-1)(x-2)(c_0 + \cdots + c_{n-3}x^{n-3})$$ Continuando de esta manera, usted encontrará que $$p(x) = x(x-1)(x-2)\cdots (x-n)(d_0)$$ for some constant $d_0$. Now we know that $p(n+1) = 0$ and we also know that none of the linear factors $x, x-1, \dots, x-n$ is zero at $x=n+1$. Hence $d_0 = 0$.

Pero, ¿qué tiene que ver esto con los números de $a_1, \dots, a_n$? Así podemos recuperar la forma $a_0 + a_1x + \cdots a_nx^n$ multiplicando a través de todos los factores de $p$. Pero es claro que el mayor poder de $p$$d_0x^n$. Por lo $d_0 = a_n = 0$. Por lo tanto $p$ es de hecho el polinomio $a_0 + a_1x + \cdots + a_{n-1}x^{n-1}$.

Aplicar el mismo argumento a esta nueva representación de $p$ muestra que $a_{n-1}=0$, y, a continuación,$a_{n-2}=0$, etc.

Por supuesto, realmente no he dado lo anterior como un pulido de la prueba, pero estoy seguro de que usted puede manejar eso.

Answer 2

Suponga que $p$ tiene el grado $n$. Si $p(x)=0$ todos los $x$, luego $$ p(1)=0,\ p(2)=0,\ \ldots\ , p(n+1)=0 $$ es un sistema lineal de $n+1$ ecuaciones en la $n+1$ coeficientes de $a_0,\ldots,a_n$. Esta es una matriz de Vandermonde, y por tanto su determinante es distinto de cero. Por lo tanto la única solución posible para el sistema es $$ a_0=a_1=\cdots=a_n=0. $$ Por supuesto, este argumento muestra que ya de por si $p$ $n+1$ raíces, entonces tiene que ser cero.

Answer 3

Supongamos que usted no desea utilizar la derivada, pero es un principiante en el cálculo del estudiante como se mencionó anteriormente. A continuación, puede utilizar el siguiente resultado:

Lema : $\lim_{k \to \infty} \frac{p(k)}{k^n} = a_n$ (que es, existe y es igual a $a_n$)

Para demostrar esta proposición, expanda el polinomio : $\frac{p(k)}{k^n} = \sum_{i=0}^n a_ik^{i-n}$. Desde $n \to \infty$, todos los términos de la mencionada ampliación de ir a cero, como se $k \to \infty$, excepto cuando se $i=n$, en cuyo caso el límite es sólo $a_n$, ya que el $k^0 = 1$.

Ahora queremos probar que si $p(x) = \sum_{i=0}^n a_ix^i$ es cero en todas partes, todos los coeficientes son cero.

Vamos a realizar la inducción, en la potencia máxima de $x$ que se produce en la expansión de $p$ como un polinomio (Este no es el mismo como el grado). Si $p$ (expresado como) un grado $0$ polinomio $a_0$, $a_0$ es una constante, por lo tanto debe ser cero.

Deje $p(k) = \sum_{i=0}^n a_ix^i$. Por el argumento anterior, $a_n = \lim_{k \to \infty} \frac{p(k)}{x^k} = 0$, ya que el $p$ es cero en todas partes. Ahora $p(x)$ simplifica a $\sum_{i=0}^{n-1} a_ix^i$, y por inducción, todos los $a_i$ son cero.

Por lo tanto, la proposición de la siguiente manera.

Answer 4

Tenga en cuenta que según el teorema Fundamental del Algebra un polinomio de grado $n$ tiene exactamente raíces $n$.

Ahora su función tiene infinitamente muchos ceros, por lo tanto no puede ser un polinomio de grado $n$ para cualquier $n$.

Por lo tanto todos los coeficientes son cero lo que hace que su función sea idénticamente cero.

Answer 5

Dado un polinomio $P$ definir $(\Delta P)(x)=P(x+1)-P(x)$. Dado un polinomio $P$ donde $P(x)= a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n$, pretendemos que $$ \Delta^{n}(P)(x)=n!a_{n}\tag{0}\label0. $$ Para ver esto de escribir $$ P(x) = \sum_{k=0}^{n} a_k x^k= \sum_{k=0}^{n} a_k \sum_{m=0}^{k}S(k,m)x^{\underline{m}}\etiqueta{1}\label1 $$ donde $S(k,m)$ es el número de stirling del segundo tipo. y $x^{\underline{m}}$ es la caída de factorial. Desde $\Delta(x^{\underline m})=mx^{\underline{m-1}}$, $\Delta^{n}(x^{\underline {m}})=m^{\underline n}x^{\underline{m-n}}$. Si $m<n$,$\Delta^{n}(x^{\underline {m}})=0$. Por lo tanto tomando $\Delta ^{n}$ de ambos lados de (1) los rendimientos que $$ (\Delta^nP)(x)=n!S(n,n)a_{n}=n!a_{n}\etiqueta{2}\label2. $$ Ahora sobre el problema.

Si $p$ es un polinomio de grado $n$, que es donde $$p(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n$$ para algunos números reales $a_0, \dots, a_n$, y si $p(x) = 0$ todos los $x\in \Bbb R$, $a_k = 0$ todos los $k$

Podemos demostrar que el reclamo por la inducción en $n$. El caso base donde $n=0$ rendimientos que $a_0=0$ como se desee. Supongamos que la demanda tiene para todos los polinomios con grado menos de $n$. Deje $p$ ser un polinomio donde $$ 0=p(x)= a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n\etiqueta{3}\label3 $$ para todos los $x\in\mathbb{R}$. Tome $\Delta^{n}$ de ambos lados de la ecuación \eqref{3} y el uso de la ecuación de \eqref{0}, para conseguir ese $a_{n}=0$. La inducción de la hipótesis de que ahora implica el resultado.