¿Por qué es la esfera unidad estrictamente convexa w.r.t combinaciones "continua"?

Question

Deje $\mu$ ser una medida de probabilidad $\mathbb{R}^n$ (en el Borel o Lebesgue $\sigma$-álgebra, yo realmente no se preocupan) que se apoya en $\mathbb{S}^{n-1}$. (Usted puede pensar sólo en la medida en la esfera en sí misma).

Supongamos que para algún vector unitario $v \in \mathbb{S}^{n-1}$, sostiene que

$$ v= \int_{\mathbb{S}^{n-1}} x \, d\mu(x)$$ (Es $v$ es un "continuo" combinación convexa de los puntos de la esfera).

Cómo probar que $\mu = \delta_v$?

(Sé que esto tiene para finito de combinaciones, y no estoy seguro de cómo generalizar para el caso continuo)

Answer 1

Supongamos que $\mu$ es una medida de probabilidad de Borel en $S=S^{n-1}$ satisfacer la igualdad indicada. Queremos mostrar que $\mu=\delta_\nu$ que es equivalente a $\mu(S\setminus\{\nu\})=0$. Ahora, $$S\setminus \{\nu\} = \bigcup_{k\geq 1} \left(S \setminus B\left(\nu,\frac1{n}\right)\right)$$ is a countable union of compact sets. So by $\sigma$-additivity it suffices to show that $\mu (K) =0$ for every compact set $K\subset S^{n-1}\setminus\{\nu\}$. So suppose this is not the case and that $r:=\mu(K) > 0 $ for some such $K$.

Ya que $K$ es compacta y desunido de $\nu$: $$\sup_{x\in K}\nu\cdot x = \max_{x\in K}\nu\cdot x=:k<1$ $ y entonces $$1=\nu\cdot \nu =\int_S \nu\cdot x d\mu = \int_K \nu\cdot x d\mu + \int_{S-K} \nu\cdot x d\mu \leq k r + (1-r) 1 <1 $ $ contradicción.

Answer 2

Aquí es una respuesta basada en el hecho de que si usted toma un subconjunto $A\subset \mathbb S^{n-1}$ de medida positiva, a continuación, $\frac{1}{\mu(A)}\int_A xd\mu(x)$ se encuentra en el casco convexo de $A$ $(*)$. Una manera de demostrar que es el uso de la idea de que Ethan Bolker y recuerde que siempre puede eligió $\mu_n=\sum_i \lambda_i^n \delta_{x_i^n}$ de manera tal que el $\lambda$ $\geq 0$ que $\mu_n$ es una medida de probabilidad. Puedo demostrar que el resultado en el "bono de la sección".

Echa un vistazo a $\mu(B(\nu,1/k)\cap\mathbb S^{n-1})$ $k$ va al infinito y $B(\nu,r)$ es el open de bola de diámetro $2r$ centrada en $\nu$.

Si $\mu(B(\nu,1/k)\cap\mathbb S^{n-1})$ es siempre igual a uno, a continuación, $\mu=\delta_\nu$ y hemos terminado. En caso contrario hay algunos $k$ tal que $\mu(B(\nu,1/k)\cap\mathbb S^{n-1})=\alpha<1$. Ahora $\displaystyle\frac{1}{\alpha}\int_{B(\nu,1/k)\cap\mathbb S^{n-1}}xd\mu(x)$ es de norma en la mayoría de uno y en el cerrado convexo casco de $B(\nu,1/k)\cap\mathbb S^{n-1}$ mientras $\displaystyle\frac{1}{1-\alpha} \int_{S^{n-1}\backslash B(\nu,1/k)}xd\mu(x)$ es de norma en la mayoría de uno y es un punto en el cerrado convexo casco de $S^{n-1}\backslash B(\nu,1/k)$, que no countain $\nu$. Dado que la esfera es el conjunto de extremal puntos de la euclidiana bola llegamos a la conclusión de que $$\int_{B(\nu,1/k)\cap\mathbb S^{n-1}}xd\mu(x)+\int_{S^{n-1}\backslash B(\nu,1/k)}xd\mu(x),$$ which is the barycenter of the two previous integrals with mass $\alfa$ and $1-\alpha$, is not on $\mathbb S^{n-1}$. Thus if $\mu\neq\delta_\nu$ then $\int_{\mathbb S^{n-1}}xd\mu(x)\neq \nu$. This conclude the proof. Note that the proof is not so hard once we have proved $(*)$, and the property $(*)$ es el mero hecho de decir que la toma de la integral de la identidad de la función con respecto a una medida de probabilidad es de hecho una continua convexe combinación.

Comentario : $x$ es llamado un punto extremal de $C$ si y sólo si para $t\in (0;1)$ $y,z\in C$ uno $ty+(1-t)z=x \Rightarrow y=z$.

BONUS : Ya que hay algunas preguntas acerca de esta debilidad de la estrella de la convergencia voy a elaborar un poco. Deje $f$ ser una función continua en el ámbito y deje $\varepsilon$ ser algunos de los reales positivos. Tome $\eta>0$ tal que $|x-y|\leq \eta \Rightarrow |f(x)-f(y)|\leq \varepsilon$. Tome $U_1,\ldots,U_N$ subconjuntos disjuntos de la esfera, de diámetro menor que $\eta$ que $\mathbb S^{n-1}=\bigcup U_i$. Por otra parte tome $x_1,\ldots,x_N$ puntos de la esfera tal que $x_i\in U_i$. Ahora la medida $\mu_\eta=\sum \mu(U_i)\delta_{x_i}$ es una medida de probabilidad y todas las $\mu(U_i)$ $\geq 0$ y es cerca de la $\mu$ en la debilidad de la topología de estrella. De hecho, usted tiene $|f(y)-f(x_i)|\leq \varepsilon $ por cada $y\in U_i$ $$\left|\int_{U_i}fd\mu-\int_{U_i}fd\mu_\eta\right|=\left|\int_{U_i}fd\mu-\mu(U_i)f(x_i)\right|=\left|\int_{U_i}f-f(x_i)d\mu\right|\leq \int_{U_i}|f(y)-f(x_i)|d\mu(y)$$ $$\leq \varepsilon \mu(U_i)$$

Sumando esto a través de todos los $i$ obtenemos $$\left|\int_{\mathbb S^{n-1}}fd\mu-\int_{\mathbb S^{n-1}}fd\mu_\eta\right|\leq \sum_i \left|\int_{U_i}fd\mu-\int_{U_i}fd\mu_\eta\right|\leq \sum_i \varepsilon \mu(U_i)\leq \varepsilon .$$ Así que hemos hecho de la convergencia de las $\mu_eta$ $\mu$en la debilidad de la topología de estrella.

Ahora tome $A$ un subconjunto de la esfera, con medida positiva. $\frac{1}{\mu(A)}\mu_{|A}$ es una medida de probabilidad y es el débil estrella límite de la probabilidad de medidas de $\sigma_n=\sum_i \lambda_i^n \delta_{x_i^n}$ ($\lambda_i^n$ positivo, añadiendo a uno y el$x_i$$A$). Así tenemos $$\frac{1}{\mu(A)}\int_A x d\mu(x)=\lim_n \int_A xd\sigma_n(x)=\lim_n \sum_i \lambda_i^n x_i^n.$$ Desde $\sum_i \lambda_i^n x_i^n$ se encuentra en el casco convexo de $A$ por cada $n$ el límite está en el cerrado convexo casco de $A$.

Answer 3

Demasiado largo para un comentario, no una respuesta.

No he pensado en este tipo de problema en muchos años. Dicho esto, usted puede ser capaz de demostrar que $\mu$ es la (débil-star?) límite de las medidas apoyadas por un número finito de puntos. Y que podría conducir a una prueba.

Referencia:

Una Clase de Cuerpos Convexos
Ethan D. Bolker
Transacciones de la Sociedad Matemática Americana
Vol. 145 (Nov., 1969), pp 323-345
https://www.jstor.org/stable/1995073?seq=1#page_scan_tab_contents

Answer 4

Este es un intento de llevar a través de la approahc sugerido por Ethan:

De hecho, es cierto que el subespacio de las medidas apoyadas por un número finito de puntos es denso en los débiles-topología de estrella de $M(\mathbb{S}^{n-1})$ (Ver aquí). Sin embargo, no estoy seguro de si cada una probabilidad de medida $\mu$ admite una secuencia de finitely compatible probabilidad de medidas de $\mu_n$.

Deje $\mu_n \to \mu$. Fix $1 \le i \le n$. A continuación,$\int_{\mathbb{S}^{d-1}} x_i \, d\mu_n(x) \to \int_{\mathbb{S}^{d-1}} x_i \, d\mu(x)$, por lo que

$$(*) \, \, \int_{\mathbb{S}^{d-1}} x \, d\mu_n(x) \to \int_{\mathbb{S}^{d-1}} x \, d\mu(x)=v$$

Supongamos $\mu_n$ es supporetd en el set $\{x_1^n,x_2^n,...x_{r_n}^n\}$, yo.e $$\mu_n=\sum_{i=1}^{r_n} \lambda_i^n\delta_{x_i^n},$$

entonces por $(*)$ tenemos

$$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{r_n} \lambda_i^n x_i^n=v$$

No está claro cómo continuar a partir de aquí. Idealmente, nos gustaría mostrar que cualquiera de las $\lambda_i^n \to 0$ o de la $x_i^n$ converge a $v$. (es decir, las combinaciones tienden a la trivial combinación).

Parte del problema parece ser que el $\lambda_i^n$ no se conoce de antemano a ser no negativo (i.e estamos teniendo aquí acerca lineal arbitraria ("akmost-afín"**) combintations, no convexo)

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**Las combinaciones son casi afín en el sentido de que

$$\sum_{i=1}^{r_n} \lambda_i^n =\mu_n(\mathbb{S}^{d-1}) \to \mu(\mathbb{S}^{d-1})=1$$