Resto en forma de polinomio de Taylor en $x_0$: $ \frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0 +\theta(x-x_0))(x-x_0)^n$ $\theta \to \frac{1}{n+1}$ $ x \to x_0$

Question

Si la función de $f: \mathbb R \to \mathbb R$ $n+1$ veces diferenciable en a$x_0$$f^{(n+1)}(x_0) \neq 0$, entonces una forma de que el resto en la Fórmula de Taylor es supuestamente

$$r_n(x_0;x) = \frac{f^{(n)}\big(x_0 +\theta(x-x_0)\big)}{n!}(x-x_0)^n,$$ where $ 0< \theta < 1$ and $\theta = \theta(x)$ approaches $\frac{1}{n+1}$ as $x$ approaches $x_0.$

¿Cómo se podía derivar de esto?

Esto parece muy extraño para mí.

Por ejemplo,$f(x) =e^x$, la normal expansión de Taylor para $n=2$ $0$ tendría el formulario (Resto de Lagrange): $$e^x = 1 + x + \frac12x^2 +\frac{1}{3!}e^{\xi}x^3,$$, pero en este caso es

$$e^x = 1 + x + \frac12x^2 +\frac{1}{2!}e^{\theta(x)}x^2$$.

Las propiedades de $\theta$ no tienen mucho sentido. Me estoy perdiendo algo?

Answer 1

El uso de Taylor-Lagrange fórmula tenemos, por $x$, en el barrio de $x_0$: $$ f(x)=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\frac{f^{(n)}(x_0+\theta_x(x-x_0))}{n!}(x-x_0)^n\tag{1} $$ con $\theta_x\in(0,1)$, y estamos interesados en $\lim_{x\to x_0}\theta_x$. Tomando un paso más allá en Taylor-Lagrange fórmula también hemos $$\eqalign{ f(x)&=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k\cr&\phantom{=}+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\frac{f^{(n+1)}(x_0+\phi_x(x-x_0))}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\tag{2}} $$ con $\phi_x\in(0,1)$. Comparando $(1)$ $(2)$ tenemos $$ \frac{f^{(n)}(x_0+\theta_x(x-x_0))}{n!} =\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} +\frac{f^{(n+1)}(x_0+\phi_x(x-x_0))}{(n+1)!}(x-x_0) $$ o $$ \frac{f^{(n)}(x_0+\theta_x(x-x_0))-f^{(n)}(x_0)}{x-x_0}=\frac{f^{(n+1)}(x_0+\phi_x(x-x_0))}{ n+1 } $$ que es $$ \theta_x=\frac{1}{n+1}\cdot\frac{f^{(n+1)}(x_0+\phi_x(x-x_0))}{ \dfrac{f^{(n)}(x_0+h_x)-f^{(n)}(x_0)}{h_x} } $$ donde $h_x=\theta_x(x-x_0)$. Dejando $x$ tienden a $x_0$, y observando que $f^{(n+1)}(x_0)\ne0$, obtenemos $$\lim_{x\to x_0} \theta_x=\frac{1}{n+1}.$$ cual es la conclusión deseada.$\qquad\square$

Answer 2

En el siguiente tengo un poco diferente de la notación de la forma de Lagrange del resto de la OP. Si el OP insiste en su notación comentario por favor.

Deje que la función de $f: \mathbb R \to \mathbb R$ $k+1$ veces diferenciable en a $x_0$. Denotar su $k$-ésimo orden de polinomio de Taylor por $P_k(t)$ y definir la función $F(t)$ $$F(t) = f(t) + f'(t)(x-t)+\frac{f"(t)}{2!}(x-t)^2 + \ldots + \frac{f^{(k)}}{k!}(x-t)^k. $$ Nos muestran un camino para llegar a la de Lagrange y Cauchy resto de las formas.

Tenga en cuenta que nuestro resto término está dado por \begin{align*} R_k(x) =& f(x) - P_k(x) \\ =& F(x) - F(x_0) . \end{align*}

Deje $G$ ser cualquier valor real de la función continua en el intervalo cerrado $[x_0,x]$ y diferenciable con un no-desaparición de derivada en el intervalo abierto $(x_0,x)$.

Por Cauchy del valor medio teorema tenemos $$\frac{F'(\xi)}{G'(\xi)} = \frac{F(x)-F(x_0)}{G(x)-G(x_0)}, \quad (*) $$ para algunos $\xi \in (x_0,x)$.

Ahora, considere el derivado de la $F(t)$, \begin{align*} F'(t) =& f'(t) + \big(f^{(2)}(t)(x-t) - f'(t)\big) + \Bigg(\frac{f^{(3)}(t)}{2!}(x-t)^2-\frac{f^{(2)}}{1!}(x-t)\Bigg) + \ldots + \Bigg( \frac{f^{(k+1)}(t)}{k!}(x-t)^k-\frac{f^{(k)}(t)}{(k-1)!}(x-t)^{k-1}\Bigg) \\ =& \frac{f^{(k+1)}(t)}{k!}(x-t)^k. \end{align*}

Conectando a $(*)$ y reordenando términos, nos encontramos con un expession para el resto $$ R_k(x) = F'(\xi)\frac{G(x)-G(x_0)}{G'(x)}. $$ La elección de $G(t) = (x-t)^{k+1}$ los rendimientos de la forma de Lagrange del resto $$ R_k(x) = \frac{f^{k+1}(\xi)}{(k+1)!}(x-x_0)^k. $$ La elección de $G(t) = t-a$ los rendimientos de los Cauchy formulario del resto $$ R_k(x) = \frac{f^{k+1}(\xi)}{k!}(x-\xi)^k (x-x_0). $$

PS: El último paso de la elección de $G(t)$ parece un poco oscuro para mí, a pesar de que funciona, obviamente. Tal vez alguien puede explicar qué opciones de $G(t)$ son válidos?