Encuentra subespacio propio de valores propios de una transformación lineal $T(M)=-2M^t+M$

Question

Deje $V$ ser el espacio de la matriz $4 \times 4$ más de $\Bbb R$. $T: V \to V$ es una transformación lineal definida por: $$T(M)=-2M^t+M$$ for all $M \in V$.

1. Encontrar el polinomio mínimo de T.
2. Para cada autovalor $\lambda$$T$, hallar el subespacio propio $V_\lambda$ y calcular sus dimensiones. Encontrar $T$'s polinomio característico.

Yo lo he solucionado de la sección 1 de esta manera:

Deje $S(M)=M^t$. Por lo tanto,$S^2(M)=M \Rightarrow S^2=I$.
$$T=-2S(M)+S^2$$ Since $$ S^2=M$$

$$\Rightarrow T=-2S+I$$

$$\Rightarrow 2S=I-T$$

$$\Rightarrow 4S^2=(I-T)^2=I^2-2T+T^2=I-2T+T^2$$ Desde $$4S^2=4I$$ $$\Rightarrow T^2-2T-3I=0$$ $$\Rightarrow(T+1)(T-3)=0$$

Cuando más explicaciones obtenemos los valores propios son los $$\lambda=-1$$ $$\lambda =3$$

Sin embargo, para encontrar autoespacio necesito la matriz original, para calcular el $$(A-\lambda I)$ $ ¿Cómo puedo encontrar una matriz para el cálculo?

Gracias,

Alan

Answer 1

Desea $M \in V$ tal que $T(M)=-M$ y $T(M)=3M$. Consideremos la primera ecuación. \begin{align*} T(M) & = -M\\ M-2M^t & = -M\\ M & = M^t. \end{align*} así $$V_{\lambda=-1}=\{M \in V\, | \, M=M^t\}.$ $ o simplemente dicho: conjunto de todas las $4 \times 4$ simétrico matrices.

Además usted obtendrá $$V_{\lambda=3}=\{M \in V\, | \, M=-M^t\}.$ $ o simplemente dicho: conjunto de todas las matrices $4 \times 4$ anti-simétrico.

Answer 2

Permítanme señalar algo útil:

Si $T \colon V \rightarrow V$ es diagonalizable con autovalores $\lambda_1, \ldots, \lambda_k$ y las correspondientes subespacios propios $V^T_{\lambda_1}, \ldots, V^T_{\lambda_k}$ $p(X) = a_0 + \ldots + a_nX^n$ es cualquier polinomio con $a_i \in \mathbb{F}$ $p(T)$ también es diagonalizable con autovalores $p(\lambda_1), \ldots, p(\lambda_k)$ e la misma subespacios propios. Más precisamente,

$$ V^{p(T)}_{p(\lambda_i)} = \bigcup_{\{1 \leq j \leq k \, | \, p(\lambda_j) = p(\lambda_i) \} } V^T_{\lambda_j}. $$

En su caso, $S$ satisface $S^2 = \mathrm{id}$, por lo que es diagonalizable con autovalores $\lambda_1 = 1$$\lambda_2 = -1$. Tenemos

$$ V^S_{1} = \{ A \, | \, S(A) = A^t = A \} = \mathrm{span} \{ \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right), \left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right), \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \} $$

y

$$ V^S_{-1} = \{ A \, | \, S(A) = A^t = -A \} = \mathrm{span} \{ \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \}. $$

Por lo tanto, $T = -2S + \mathrm{id} = p(S)$ ( $p(X) = -2X + 1$ ) es diagonalizable con autovalores $p(\lambda_1) = p(1) = - 1$ $p(\lambda_2) = p(-1) = 3$ y subespacios propios $V^{S}_1$$V^{S}_{-1}$.

Answer 3

Cada matriz $M$ puede ser escrito como una simétrica y antisimétrica parte $$ M = M_s + M_a \\ M_s = \frac{1}{2}(M+M^t),\;\; M_a = \frac{1}{2}(M-M^t). $$ Que es$M_s^t=M_s$$M_a^t=-M_a$. Entonces $$ TM_s = -2M_s+M_s = -M_s \\ TM_a = 2M_a+M_a = 3M_a. $$ Así que usted tiene una base de eignevectors para $T$ con autovalores $3$$-1$. Eso significa que $T$ tiene un mínimo de polinomio $(\lambda+1)(\lambda-3)=\lambda^{2}-2\lambda-3$.

Las matrices simétricas son determinados por la arbitraria de números a lo largo y por encima de la diagonal, lo que significa que la dimensión es $(n^{2}-n)/2+n=n(n-1)/2+n$. El antisimétrica matrices tienen ceros a lo largo de la diagonal, y los números por encima de la diagonal puede ser arbitraria, lo que da la dimensión de $(n^{2}-n)/2=n(n-1)/2$. (Se trabaja con $n=4$.)