En general, la correspondencia asintótica se utiliza para encontrar una aproximación a una solución de un (sistema de) ecuación(es) diferencial(es). La unicidad de la solución "real" subyacente puede obtenerse a partir de la teoría general sobre la existencia y unicidad de las soluciones de las ecuaciones diferenciales. En particular, bajo ciertas condiciones generales, una condición inicial da lugar a una solución única.
El emparejamiento asintótico puede dar ahora un conocimiento más explícito de esa solución única. Así, sabemos que existe, sabemos que es única, pero no sabemos qué aspecto tiene, y ese es el punto en el que se empiezan a utilizar los métodos asintóticos.
Una restricción (o, en realidad, una característica) de la asintótica ajustada es que la solución subyacente se aproxima hasta un cierto orden en el parámetro pequeño del problema. Esto significa que, para condiciones iniciales "cercanas" (es decir, condiciones iniciales tan cercanas a la condición inicial "real" que se identifican todas en el "nivel de ampliación" empleado por el método asintótico), las soluciones asociadas son indistinguibles desde el punto de vista de la asintótica emparejada. Por lo tanto, cada aproximación a la solución que se construye utilizando la asintótica emparejada es en realidad un "tubo" de soluciones cercanas. Se puede hacer que este "tubo" sea más pequeño acercándose, es decir, realizando el método asintótico ajustado a órdenes superiores en el parámetro pequeño, pero esto sigue sin resolver el problema por completo. En particular, se pueden tener soluciones que son se acercan exponencialmente para lo cual se necesitaría la llamada asintótica "más allá de todos los órdenes".
Para obtener más información sobre las técnicas que tratan estos problemas de aproximación y singularidad, le recomiendo encarecidamente que consulte
C. Kuehn, Dinámica de escalas temporales múltiples , Springer (2015), ISBN 978-3-319-12316-5 .
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+1, esta es una buena pregunta. No puedo responderla, pero parece que la unicidad proviene de la forma en que se aplican las condiciones de contorno cuando están en los regímenes interior/exterior. Por ejemplo, considere un sistema de 2º orden con condiciones en ambas fronteras. Cuando está en el régimen exterior, se trata de un sistema de primer (o de 0) orden y, por tanto, se obtiene una solución exterior única cuando se aplica la condición de contorno exterior correspondiente. En el régimen interior tenemos un sistema de 2º orden con una sola condición de contorno, por lo que la solución interior es única hasta un grado de libertad. (...)
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(...) La restricción de hacer coincidir la solución interna con la externa, suponiendo que tal coincidencia sea posible, debería (¿pero tal vez no?) fijar ese grado de libertad.
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@AntonioVargas eso también lo entiendo yo, pero tengo que confesar que mi educación formal en ecuaciones diferenciales es bastante mala