¿Es un espacio medible?

Question

Esto probablemente tiene una respuesta muy rápida pero me ha estado molestando por un tiempo.

Toma dos copias del plano cartesiano. En cada plano recorta el cuadrado $S=(0,1)\times(0,1)$ . Tira el resto. Ahora haz un corte en cada cuadrado desde la mitad del borde superior $(1/2,1)$ al centro $(1/2,1/2)$ . Identifica el borde izquierdo del corte en un cuadrado con el borde derecho del corte en el otro cuadrado, y viceversa. Ese es mi espacio $X$ . Mi pregunta es: ¿se trata de un "espacio de medida"? Es decir, ¿la medida es simplemente heredada de mi medida euclidiana original en los planos o el corte puede meterme en problemas?

El contexto de mi pregunta es que tengo un núcleo integral $k(x,y)$ definido en $X\times X$ y quiero estudiar el operador integral $K$ asociado a él. En la mayoría de la literatura que pude encontrar sobre operadores integrales, $X$ se supone que es un subconjunto del espacio euclidiano (digamos el artículo de Wikipedia o el libro de Stone) o, más generalmente, un espacio de medidas. Quiero utilizar los teoremas sobre los operadores integrales (en particular el hecho de que cuando $K$ es Hilbert-Schmidt, entonces el $L^2(X\times X)$ -norma de $k(x,y)$ es igual a la suma de los valores propios al cuadrado de $K$ ). Así que sólo quiero asegurarme de que mi $X$ satisface las condiciones necesarias para esos teoremas.

Answer 1

Si quiere hablar de integrales, ¿se refiere a la medible ¿espacio, tal vez? A medir espacio es un medible espacio en el que se fija una medida. A medible El espacio puede admitir muchas medidas.

Ahora, su espacio inicial es $X' :=[0,1]^2\times\{0,1\}$ que viene con una estructura topológica y de mensurabilidad de Borel heredada de $\Bbb R^2$ . Si he entendido bien tus operaciones de "identificación", introduces un mapa de cociente $f$ entre espacios topológicos $X'$ y $X$ . Más concretamente, se introduce una topología en $X$ utilizando $X'$ y $f$ . Para dicha topología se puede hablar de mensurabilidad de Borel, que es una estructura bastante natural aquí, que de hecho se hereda de $\Bbb R^2$ . En general, siempre que se considere $X$ como un espacio topológico, no importa cómo lo hayas construido, siempre puedes introducir Borel $\sigma$ -álgebra en $X$ .

Además, si está interesado principalmente en las medidas, para cualquier medida $\mu$ en $X'$ se puede definir una medida de imagen/de empuje $f_*\mu$ en $X$ utilizando el mismo mapa de cociente $f$ . Lo bueno de esta medida es que se puede integrar en $X'$ en lugar de en $X$ utilizando la fórmula de cambio de variables.

Answer 2

Dejemos que $M'$ sea el espacio que defina, entonces $M := M' \setminus \{0\}$ es una diferenciable (en realidad es $C^\omega$ ) ya que es un subconjunto abierto de la superficie de riemann asociada a $x\mapsto \sqrt[2]{x}$ (menos el punto de ramificación en $0$ ).

Dejemos entonces que $p$ sea la proyección $M\to \Bbb R^2\setminus\{0\}$ y que $\cal U$ sea una cobertura por conjuntos abiertos simplemente conectados de $M$ para que $p(U)\cong U$ . Para cada $U\in \cal U$ dejar $\mu_U$ sea una medida sobre $M$ definido como $\mu_U(A) = m(p(A\cap U))$ . Ahora toma una partición de la unidad $\lambda_U$ asociado a $\cal U$ y definir $\tilde\mu (A)= \sum_U (\int_{A\cap U}\lambda_U d\mu_U)$ y finalmente definir la medida $\mu$ en $M'$ como $\mu(A) = \mu(A\cap M)$ .