¿Por qué es la varianza de $X-Y$ igual a la suma de las desviaciones al $X,Y$ son independientes?

Question

Tengo una pregunta acerca de esto. Sé que si tenemos $\mathrm{X}_1,\mathrm{X}_2,\ldots,\mathrm{X}_n$ independientes y aleatorias distribuidas normalmente variables, entonces la suma de $\mathrm{X}_1+\mathrm{X}_2+\ldots+\mathrm{X}_n$ tiene distribución normal con media de $M_1+M_2+..+M_n$ y la varianza $\sigma^2_1 + \ldots + \sigma^2_n$.

¿Por qué en este problema la diferencia de $W-M$ el promedio obtenido de la resta y de la varianza se obtienen mediante la adición? Gracias.

Answer 1

Si $X$ $Y$ son variables aleatorias independientes, entonces también lo son la $X$ $Z$ independiente de variables aleatorias donde $Z = -Y$. Ahora, $$\text{var}(Z) = \text{var}(-Y) = (-1)^2\text{var}(Y) = \text{var}(Y)$$ y así

$$\text{var}(X-Y) = \text{var}(X + (-Y)) = \text{var}(X+Z) = \text{var}(X) + \text{var}(Z) = \text{var}(X) + \text{var}(Y)$$ con ni una mención explícita de la palabra de covarianza.

Answer 2

Deje $X,Y$ ser variables aleatorias con variaciones $\sigma^{2}_{x}$$\sigma^{2}_{y}$, respectivamente. Es un hecho que ${\rm var}(Z) = {\rm cov}(Z,Z)$ para cualquier variable aleatoria $Z$. Esto puede comprobarse mediante la definición de covarianza y la varianza. Así, la varianza de las $X-Y$ es

$$ {\rm cov}(X-Y,X-Y) = {\rm cov}(X,X)+{\rm cov}(Y,Y)-2\cdot{\rm cov}(X,Y) $$

lo que sigue a partir de bilinearity de covarianza. Por lo tanto,

$$ {\rm var}(X-Y) = \sigma^{2}_{x} + \sigma^{2}_{y} - 2\cdot{\rm cov}(X,Y) $$

al $X,Y$ son independientes de la covarianza es 0 por lo que esto se simplifica a $\sigma^{2}_{x} + \sigma^{2}_{y}$. Así, la varianza de la diferencia de dos variables independientes es la suma de las varianzas.