Encontrar más soluciones no triviales para un sistema de ecuaciones algebraicas lineales

Question

Supongamos que tenemos un sistema de $n$ ecuaciones algebraicas lineales en $n$ incógnitas, donde $n > 1$ es un entero impar positivo. La matriz $A = \{a_{ij}\}_{i,j=1}^n$ de este sistema tiene las siguientes propiedades:

• $a_{ii}=0$ por cada $i=1,\ldots,n$, es decir, $A$ tiene ceros en la diagonal principal

• $a_{ij} \in \{\pm 1\}$ por cada $i\neq j$

• $\sum_{j=1}^n a_{ij}=0$ por cada $i=1,\ldots, n$, es decir, la suma de cada fila es igual a cero

Este sistema tiene una solución evidente $C(1,\ldots,1)^T$ cualquier $C\in\mathbb{R}$. Para $n=3,5$ es la única serie de soluciones y $\mathrm{rank}A=n-1$ (he escrito un pequeño programa que los ataques de las fuerzas de todas las combinaciones). Es cierto para cualquier extraño $n\in \mathbb{N}$? Si no, entonces para cada a $n$ tenemos $\mathrm{rank}A<n-1$?

Edit: he publicado una respuesta para el caso de al $A\in M_n(\mathbb{Q})$. Pero podemos concluir de que el resultado para el caso de $A\in M_n(\mathbb{R})$? El último significaría también que el resultado representa el caso de $A\in M_n(\mathbb{C})$, ya que el $\mathbb{C}=\mathbb{R}+i\mathbb{R}$.

Answer 1

Respuesta parcial ($\mathbb{Q}$)

El sistema no tiene soluciones en $\mathbb{Q}^n\setminus \langle(1,\ldots,1)^T\rangle_\mathbb{Q}$, lo $\mathrm{rank}A=n-1$ para todos los impares $n>1$.

Supongamos $v\in\mathbb{Q}^n\setminus \langle(1,\ldots,1)^T\rangle_\mathbb{Q}$ es una solución de nuestro sistema, es decir,$Av=(0,\ldots,0)^T$. Consideremos $z=\mathrm{lcm}(q_1,\ldots,q_n)\cdot v$ donde $v_i=p_i/q_i$ $i$- ésimo componente de $v$, e $p_i,q_i\in\mathbb{Z}$.

Ahora tenemos $z\in\mathbb{Z}^n\setminus \langle(1,\ldots,1)^T\rangle_\mathbb{Q}$, denotan $z=(z_1,\ldots,z_n)^T$. Entre los $z_1,\ldots,z_n$ tenemos cantidad impar $k$ de los números de una paridad e incluso importe $p$ de los números de otra paridad. Si $p>0$, entonces podríamos optar $z_i$ de que la paridad y la $i$-ésimo componente de $Az$ sería extraño (como una suma de cantidad impar de números impares y cantidad impar de números); y por lo $Az\neq (0,\ldots,0)^T$. Por lo tanto $p=0$ y todos los $z_i$ tienen la misma paridad.

Consideremos $\tilde{z}=z-(\min z_i,\ldots,\min z_i)^T$. Ya que ambos vectores en el lado derecho están las soluciones, así como la $\tilde{z}$. Al menos uno de los componentes de $\tilde{z}$ es cero, pero no todos ellos; todos los componentes de $\tilde{z}$ son incluso. Dividimos $\tilde{z}$ $2$ hasta al menos uno de los componentes se vuelve extraño. Cero sigue siendo cero, por lo tanto, incluso. Pero anteriormente se estableció que todos los componentes de la entero solución debe ser de la misma paridad. Contradicción.