Probabilidad de que una suma de normales al cuadrado sea mayor que una constante por otra suma de este tipo

Question

Dejemos que $Y_1,Y_2,..., Y_n$ $i.i.d$ $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ variables aleatorias y $n>4$ . Encuentre la probabilidad $\mathbb{P}\{Y_3^2 + Y_4^2+ ... + Y_n^2 \geq \alpha ( Y_1^2 + Y_2^2)\}$ para $\alpha >0$ .

Probablemente tenga que utilizar el hecho de que la suma de gaussianos estándar al cuadrado es una variable aleatoria distribuida por chi, pero la $\alpha$ desordena las cosas. Otra cosa que he notado es la simetría, es decir, esta probabilidad debería ser la misma para cualquier $2$ variables aleatorias que tengo en el lado derecho de la desigualdad.

Answer 1

Puede utilizar la relación de la distribución F con la chi-cuadrado

$$F_{m,n}=\frac{\chi_m^2/m}{\chi_n^2/n}$$

$P\{Y_3^2 + Y_4^2+ ... + Y_n^2 \geq \alpha ( Y_1^2 + Y_2^2)\}=P(\chi_{n-2}^2\ge\alpha\chi_2^2)=P(\frac{\chi_{n-2}^2}{\chi_2^2}\ge\alpha)$

Ahora puedes ajustarlo para que tenga la forma de un $F$ .

$$P\Bigg(F_{n-2,2}\ge\frac{2}{n-2}\alpha\Bigg)$$

Answer 2

De acuerdo con la política de autoestudio Dejaré algunas pistas en lugar de publicar una respuesta completa, pero también intentaré explorar un poco por qué este tipo de pregunta "funciona".

Probablemente tenga que utilizar el hecho de que la suma de cuadrados estándar gaussianos es una variable aleatoria distribuida por chi

Sí, pero hay que hacer que "la suma de independiente gaussianos estándar al cuadrado es una variable aleatoria distribuida por chi" - la independencia es una parte importante de esta pregunta. Afortunadamente se le dijo al principio que $Y_i$ eran "i.i.d.", lo que significa independientes e idénticamente distribuidos.

pero el $\alpha$ desordena las cosas

En realidad no es el $\alpha$ que le está causando el problema. Considere el caso especial de que $\alpha = 1$ . ¿Mejora eso las cosas? Seguimos teniendo una variable chi-cuadrado en el lado izquierdo y otra variable chi-cuadrado en el lado derecho. Pero, como antes, no podemos combinarlas en una sola variable chi-cuadrado, porque están en lados diferentes de la ecuación. Si hubiéramos movido el $Y_1^2$ y $Y_2^2$ a través de la derecha a la izquierda por sustracción, usted todavía no han podido combinarse en una única variable chi-cuadrado, porque los coeficientes de $Y_1^2$ y $Y_2^2$ habría sido $-1$ mientras que los coeficientes del otro $Y_i^2$ habría sido $+1$ .

Así que el problema no es más difícil con o sin el $\alpha$ . Seguramente obtendrá dos variables de chi-cuadrado diferentes, por lo que su estrategia de solución debe consistir en explotar este hecho, en lugar de intentar reducirlo a un único chi-cuadrado.

Otra cosa que he notado es la simetría, es decir, esta probabilidad debería ser la misma para 2 variables aleatorias cualesquiera que tenga en el lado lado derecho de la desigualdad.

Además, hay que tener en cuenta que son diferentes $Y_i$ s en los lados derecho e izquierdo, y por lo tanto son independiente entre sí.

Como resultado, las variables chi-cuadrado que se obtienen en los lados izquierdo y derecho son también independientes entre sí. Escribamos $X_1 \sim \chi^2_{\nu_1}$ y $X_2 \sim \chi^2_{\nu_2}$ con $X_1$ y $X_2$ independiente; buscamos $\Pr(X_1 \geq \alpha X_2)$ .

¿Puedes pensar en un hecho distributivo que relacione dos variables independientes de chi-cuadrado entre sí?

Tal vez, mirar a la lista de relaciones en el artículo de chi-cuadrado en Wikipedia . Se presentan un par de candidatos.

$\frac{X_1}{X_1 + X_2} \sim \text{Beta}(\frac{\nu_1}{2}, \frac{\nu_2}{2})$ parece un poco difícil de aplicar ya que no tenemos la suma de dos variables chi-cuadrado por el momento. Pero podríamos, por ejemplo, sumar $\alpha X_1$ a ambos lados para conseguir: $$(\alpha + 1) X_1 \geq \alpha (X_1 + X_2)$$

$\frac{X_1/\nu_1}{X_2/\nu_2} \sim F(\nu_1, \nu_2)$ podría aplicarse más fácilmente; requiere la relación de dos variables chi-cuadrado independientes, y como tenemos una chi-cuadrado como factor en cada lado, la fracción deseada está a una corta manipulación.

Sin embargo, lo mejor del método de la distribución Beta es que (especialmente con los buenos números dados en la pregunta) obtendrá una probabilidad que puede integrar fácilmente para obtener una fórmula para la probabilidad como función racional de $\alpha$ . La función de densidad de la distribución Beta resultará "bonita" porque los dos grados de libertad del chi-cuadrado de la derecha se convierten en un grado de libertad en la distribución Beta, y en la PDF sólo elevamos el factor correspondiente a una potencia uno menos que los grados de libertad; esta facilidad de integración también se aplicará al factor de normalización, que es un Función beta . Tal solución se siente, al menos para mí, más satisfactoria que una solución en términos de la $F$ de la distribución. Ni siquiera es mucho más difícil mantener $n$ general, en lugar de sustituir un valor específico, para obtener una fórmula en términos de $\alpha$ y $n$ .

Pruébalo.