Números enteros CMO 2011 Sum of

Question

El siguiente problema se pidió en el 2011 CMO y estaría interesado en la búsqueda de diferentes soluciones para él. Aquí está el problema:

Fijar un número entero positivo $d$, entonces para cualquier número entero $k$ allí existe un número entero positivo $n$y enteros $\epsilon_i$ donde $\epsilon_i = \pm 1$ $i=1 \ldots n$ tal que:

$$k = \sum_{i=1}^n \epsilon_i (1+id)^2$$

Answer 1

Deje $U_k=(1+kd)^2$. A continuación,$U_{k+3}-U_{k+2} -U_{k+1}+U_k=4d^2$, una constante. El cambio de signo, obtenemos la suma de $-4d^2$.

Por lo tanto, si hemos encontrado una expresión para un cierto número de $S_0$ como una suma del tipo deseado, podemos obtener una expresión del tipo deseado para $S_0+(4d^2)q$, para cualquier entero $q$.

Queda por demostrar que para cualquier $S$, existe un entero $S'$ tal que $S' \equiv S \pmod{4d^2}$ $S'$ puede ser expresado en la forma deseada.

Vistazo a la suma $(1+d)^2+(1+2d)^2 +\cdots +(1+Nd)^2$, donde $N$ es `grande". Podemos elegir $N$, de modo que la suma es impar, o de manera que la suma es par.

Cambiando el signo delante de $(1+kd)^2$ a un signo menos, se disminuye la cantidad de $2(1+kd)^2$. En particular, si $k \equiv 0 \pmod {2d}$, se disminuye la suma por 2 (modulo $4d^2$). Si $N$ es lo suficientemente grande, hay muchos a $k< N$ tal que $k$ es un múltiplo de a $2d$. Cambiando el signo delante de $r$ de estos, podemos cambiar (`hacia abajo") la clase de congruencia modulo $4d^2$$2r$. Eligiendo $N$, de modo que la suma original es impar, y la elección adecuada de $r <2d^2$, podemos obtener números congruentes a todos los números impares modulo $4d^2$. Eligiendo $N$, de modo que la suma original es incluso, podemos obtener números congruentes para todos los números pares modulo $4d^2$. Esto completa la prueba.

No hay mucha complicación si en lugar de $1+kd$ $a+kd$ donde $a$ $d$ son relativamente primos.