Por qué $PSL_3(\mathbb F_2)\cong PSL_2(\mathbb F_7)$?

Question

¿Por qué son los grupos de $PSL_3(\mathbb{F}_2)$ $PSL_2(\mathbb{F}_7)$ isomorfos?

La actualización. Hay un grupo de la teoría de la prueba (ver respuesta). Pero, ¿hay alguna prueba geométrica? O alguna prueba utilizando octonions, tal vez?

Answer 1

El grupo $G=\operatorname{PSL}_2(7)$ actúa en $X=P^1(\mathbb{F}_7)$. Fix $p\in X$, y considerar la acción del estabilizador subgrupo $G_p=\{g\in G:g\cdot p=p\}$ en el conjunto de $\binom{X\setminus\{p\}}{3}$ $3$- elemento de subconjuntos de a $X\setminus\{p\}$. Tiene tres órbitas, de tamaños $7$, $7$ y $21$; esto se puede verificar mediante la consideración de la cruz-ratios. Elija uno de los pequeños: uno puede comprobar que es un triple Steiner sistema de $S(2,3,7)$, por lo que es isomorfo a un diseño, a $P^2(\mathbb{F}_2)$.

Jugando un poco con esta construcción puede ser utilizado para realizar el isomorfismo de manera explícita.

Más tarde. Una observación, que ayuda a explainwhy funciona esto, es que si $o\in\binom{X}{4}$ es uno de los $G$de las órbitas de tamaño $14$, entonces el automorphism grupo de $o$ (es decir, el conjunto de las permutaciones de $X$ que elementos de mapa de $o$ a los elementos de $o$)$\operatorname{GL}_3(\mathbb{F}_2)\rtimes\mathbb{F}_2^3$, el grupo de afines mapas de $\mathbb{F}_2^3$ (aquí \rtimes se supone que significa cruzado producto). La fijación de un elemento $p\in X$, como hice anteriormente, asciende a escoger un 'cero' en $\mathbb{F}_2^3$ visto como un espacio afín, que es, mirando como un espacio vectorial. (Esto pone una estructura afín $3$-espacio de más de $\mathbb{F}_2$$X$, y si empezamos con los otros $14$-elemento órbita $o'\in\binom{X}{4}$ tenemos otra estructura de afín $3$-más de espacio que en $\mathbb{F}_2$; $\operatorname{PGL}_2(7)$ es, precisamente, el conjunto de las permutaciones de $X$ que conserva afín estructuras)

Answer 2

Hay una razonable geométrica prueba en la Sección 1.4 de Noam Elkies' La Cuártica de Klein en la teoría de números. Una muy áspera resumen es como sigue. El único grupo simple $G$ orden $168$ $3$- dimensiones representación irreducible $V$ que se define sobre un campo de número de $k$. Mediante la reducción de esta representación modulo de un primer largo de $2$ obtenemos un $3$-dimensiones de la representación de $G$ $\mathbb{F}_2$ que identifica a $G$ $\text{GL}_3(\mathbb{F}_2)$ por la sencillez (y un recuento de argumento). Mediante la reducción de esta representación modulo de un primer largo de $7$ obtenemos un $3$-dimensiones de la representación de $G$$\mathbb{F}_7$, lo que es, como resulta de la simetría del cuadrado de la definición de la representación de $\text{PSL}_2(\mathbb{F}_7)$.

Answer 3

(Idea de una prueba de V. Dotsenko del papel en http://www.mccme.ru/free-books/matprosd.html (en ruso))

Considere 28-element set de 4-tuplas de puntos en $\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_7)$ con una relación de igual a 3. La identificación de 4-tupla con su complemento (recordemos que hay exactamente 8 puntos en $\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_7)$) uno obtiene 14-element set $X$ - exactamente el número de puntos + el número de líneas en $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_2)$. El conjunto $X$ se compone de 2 órbitas de $PSL_2(\mathbb F_7)$, $P$ y $L$. Definir una tupla de $P$ y una tupla de $L$ a incidentes si se cruzan por 2 elementos. Reclamo: 1) el resultado es, de hecho,$\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_2)$; 2) inducida por homomorphism $PSL_2(\mathbb{F}_7)\to PSL_3(\mathbb F_2)$ es un isomorfismo.

Actualización (2 años después). Esto es sólo Klein correspondencia!

Para cualquier 8-element set $X$ su powerset $2^X$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb F_2$. Deje $V$ ser el cociente de la subespacio generado por un subconjunto con un número de elementos por $\langle X\rangle$. Ahora el conjunto $Q$ de 4-tuplas de puntos de X para complementar pueden ser vistos como una Klein quadric (aka $Gr(2,4)$, aka $PGr(1,3)$) dentro de $\mathbb P(V)$. Permutaciones de $X$ act en los aviones en $Q$, y estos planos corresponden a los puntos y planos de $\mathbb P^3$. Ahora incluso permutaciones mapa de puntos de puntos y planos de las llanuras y esto le da isomorfismo $A_8\to PSL_4(\mathbb F_2)$.

Ahora para $X=\mathbb P^1(\mathbb F_7)$ su restricción de $PSL_2(\mathbb F_7)\subset A_8$ da isomorfismo $PSL_2(\mathbb F_7)\to PSL_3(\mathbb F_2)\subset PSL_4(\mathbb F_2)$.

Answer 4

(Un boceto de una prueba de http://www.math.vt.edu/people/brown/doc/PSL(2,7)_GL(3,2).pdf por E. Brown y N. Loehr.)

$PSL_3(\mathbb F_2)$ es el grupo de automorfismos de a $\mathbb F_8$ como un espacio vectorial sobre $\mathbb F_2$. Fijar un generador de $x$$\mathbb F_8^{\times}$. Se define un mapa $\mathbb P^1(\mathbb F_7)\to\mathbb F_8$: $k\mapsto x^k$ (definimos $x^\infty:=0$).

Ahora, para $f\in PSL_2(\mathbb F_7)$ el mapa de $x^k\mapsto x^{f(k)}$ es, en general, no $\mathbb F_2$-lineal, pero el mapa de $x^k\mapsto x^{f(k)}+x^{f(\infty)}$$^1$. Y el mapa de $T:f\mapsto(x^k\mapsto x^{f(k)}+x^{f(\infty)})$ da un deseada isomorfismo $PSL_2(\mathbb F_7)\to PSL_3(\mathbb F_2)$.

$^1$ No hay conceptual explicación en el papel, pero un cheque para los generadores de $PSL_2(\mathbb F_7)$ no es difícil --- y una verificación de que $T$ es un homomorphism termina la prueba.

Answer 5

Ambos son simples grupos de orden 168, y cada grupo simple de la orden de $168$ es isomorfo a $PSL_2(7)$. Un largo ejercicio, con sugerencias. Probar lo siguiente:

Deje $G$ ser un simple grupo de orden $168$.

Ha $8$ Sylow $7$-subgrupos.

Puede ser identificado con un subgrupo de $A_8$.

El etiquetado de los objetos que actúa sobre como $\infty,0,1,\ldots,6$ uno de Sylow $7$-subgrupo generado por a $g=(0\ 1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6)$.

El grupo $G$ $2$- transitiva.

El normalizador de la $\langle g\rangle$ es generado por $g$ y $h=(1\ 2\ 4)(3\ 6\ 5)$.

El setwise estabilizador $H$ $\{\infty,0\}$ es generado por $h$ y otro elemento $k$ que es el producto de $(\infty\ 0)$ y tres otros distintos transposiciones.

Si $H$ es cíclico, entonces el Sylow $2$-subgrupo de $G$ sería única, conduce a una contradicción.

Por lo $H$ es nonabelian y podemos tomar $k=(\infty\ 0)(1\ 6)(2\ 3)(4\ 5)$.

Finalmente,$G$$PSL_2(7)$.