Cierre algebraico de lo racional dentro de un cociente de producto de campos finitos

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente ejercicio:

" Considere el anillo $R = \prod_ {p} \mathbb {F}_p$ donde $p$ se ejecuta sobre todos los números primos y $ \mathbb {F}_p$ es un campo con $p$ elementos. Mostrar que existe un ideal máximo $M$ de $R$ de tal manera que el campo $R/M$ contiene (un campo isomórfico a) el cierre algebraico $ \mathbb {Q}^ \text {ac}$ de los números racionales. "

En realidad, no tengo ni idea. Una pista sugiere usar el teorema de densidad de Chebotarev, pero no veo ninguna relación con él.

¡Muchas gracias por cualquier sugerencia o referencia!

Answer 1

Un poco torpe, pero utiliza el teorema de Chebotarev:

Deje que $P$ ser el conjunto de todos los primos y para $f \in\mathbb Z[x]$ monica e irreducible deja $P_f \subset P$ ser el conjunto de primos $p$ que no dividen al discriminante de $f$ y tal que $f$ se divide en factores lineales en $ \mathbb F_p[x]$ . Chebotarev ahora dice que para cualquier colección finita $f_1, \dots ,f_n$ tenemos $P_{f_1} \cap\dots\cap P_{f_n} \neq\emptyset $ (tomando el campo de separación $K$ de $f_1f_2 \dots f_n$ y considerando los primos $p$ para el cual el correspondiente automorfismo de Frobenius de $K$ es la identidad - tienen una densidad no nula).

Ya que, como se muestra arriba, $P_f$ Si satisfacemos la propiedad de intersección finita, hay un ultrafiltro $ \mathcal U$ en $P$ de tal manera que $P_f \in\mathcal U$ para cada $f$ . El ultrafiltro $ \mathcal U$ no es principal (cualquier primo divide al discriminante de algunos $f$ Por lo tanto $ \bigcap_f P_f= \emptyset $ )), así que el ultraproducto $ \prod_p\mathbb F_p/ \mathcal U$ es un campo de características $0$ y por construcción cada $f$ se divide en este campo. Es un cociente de $ \prod_p\mathbb F_p$ para que pueda ser escrito como $( \prod_p\mathbb F_p)/M$ donde $M$ es un ideal máximo.]